算法之矩阵连乘

矩阵连乘是一个经典的动态规划问题，其目标是在给定一组矩阵的情况下，找到它们相乘的最小代价。

具体来说，假设有n个矩阵$A_1,A_2,...,A_n$，它们的维度分别为$d_0*d_1,d_1*d_2,...,d_{n-1}*d_n$，其中$d_0,d_1,...,d_n$为正整数。则这n个矩阵相乘的最小代价为：

$M(i,j)=\begin{cases} 0 , &i=j \\ \min\limits_{i\le k<j}\{M(i,k)+M(k+1,j)+d_{i-1}*d_k*d_j\}, &i<j \end{cases}$

其中$M(i,j)$表示将矩阵$A_i,A_{i+1},...,A_j$相乘所需的最小代价。

根据这个式子，可以写出矩阵连乘的动态规划算法，时间复杂度为$O(n^3)$。具体算法如下：

def matrix_chain_order(p):
    n = len(p) - 1  # p 中包含矩阵的维度，长度为 n+1
    m = [[float('inf')] * (n+1) for _ in range(n+1)]  # 初始化最小代价矩阵
    s = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]  # 初始化断点矩阵
    for i in range(1, n+1):
        m[i][i] = 0
    for l in range(2, n+1):
        for i in range(1, n-l+2):
            j = i + l - 1
            for k in range(i, j):
                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j]
                if q < m[i][j]:
                    m[i][j] = q
                    s[i][j] = k
    return m, s

其中，$p$为一个长度为$n+1$的数组，表示$n$个矩阵的维度。在上述算法中，$m$矩阵和$s$矩阵分别表示最小代价和断点。算法的返回结果为这两个矩阵。

接下来可以通过断点矩阵$s$来输出矩阵相乘的顺序。具体算法如下：

def print_optimal_parens(s, i, j):
    if i == j:
        print(f'A{i}')
    else:
        print('(', end='')
        print_optimal_parens(s, i, s[i][j])
        print_optimal_parens(s, s[i][j]+1, j)
        print(')', end='')

该算法的时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$。