用Jacobi 迭代法解如下方程组 输出方程组的解，及矩阵 L和U 的C语言代码

方程组为：

3x + 2y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
x + 2y + 3z = 3

将其表示为矩阵形式：

| 3  2  1 |   | x |   | 1 |
| 2  3  2 | x | y | = | 2 |
| 1  2  3 |   | z |   | 3 |

使用 Jacobi 迭代法，首先需要将矩阵分解为 L 和 U，使得 A = L + U。

L 和 U 的定义如下：

L = | 0   0   0  |
    | L21  0   0  |
    | L31 L32  0  |

U = | U11 U12 U13 |
    |  0  U22 U23 |
    |  0   0  U33 |

对于 Jacobi 迭代法，每次迭代的更新公式为：

x[i+1] = (b1 - (a12 * x2[i] + a13 * x3[i])) / a11
y[i+1] = (b2 - (a21 * x1[i] + a23 * x3[i])) / a22
z[i+1] = (b3 - (a31 * x1[i] + a32 * x2[i])) / a33

其中，a11, a12, a13, ... 分别表示矩阵 A 中的元素。

根据上述公式，我们可以编写如下的 C 语言代码：

相关问题

用c语言用Jacobi 迭代法解三阶方程组输出方程组的解，及矩阵 L 和 U。

好的，以下是使用Jacobi迭代法解三元线性方程组的C语言代码示例：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define N 3  // 方程组的未知数个数

int main()
{
    int i, j, k;
    double a[N][N+1] = {{2, -1, 1, 3}, {1, 3, -2, 5}, {4, 1, -3, -1}};  // 系数矩阵及增广矩阵
    double x[N] = {0};  // 存储解向量
    double x0[N] = {0};  // 存储迭代初值
    double eps = 1e-6;  // 精度要求
    double sum;  // 存储累加和
    int iter = 0;  // 迭代次数

    // Jacobi迭代法
    do {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            sum = a[i][N];
            for (j = 0; j < N; j++) {
                if (j != i) {
                    sum -= a[i][j] * x0[j];
                }
            }
            x[i] = sum / a[i][i];
        }
        iter++;
        // 判断是否满足精度要求
        if (fabs(x[0]-x0[0])<eps && fabs(x[1]-x0[1])<eps && fabs(x[2]-x0[2])<eps) {
            break;
        }
        // 更新迭代初值
        for (k = 0; k < N; k++) {
            x0[k] = x[k];
        }
    } while (iter < 100);  // 最大迭代次数为100

    // 输出解向量
    printf("Solution:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %.6lf\n", i, x[i]);
    }

    // 计算系数矩阵的LU分解
    double L[N][N] = {0};  // 存储下三角矩阵
    double U[N][N] = {0};  // 存储上三角矩阵
    for (i = 0; i < N; i++) {
        // 计算U矩阵第一行元素
        U[0][i] = a[0][i];
        // 计算L矩阵第一列元素
        L[i][0] = a[i][0] / U[0][0];
    }
    for (i = 1; i < N; i++) {
        for (j = i; j < N; j++) {
            // 计算U矩阵第i行元素
            sum = 0;
            for (k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[i][k] * U[k][j];
            }
            U[i][j] = a[i][j] - sum;
            // 计算L矩阵第i列元素
            sum = 0;
            for (k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[j][k] * U[k][i];
            }
            L[j][i] = (a[j][i] - sum) / U[i][i];
        }
    }

    // 输出L和U矩阵
    printf("L matrix:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (j <= i) {
                printf("%.6lf\t", L[i][j]);
            } else {
                printf("0.000000\t");
            }
        }
        printf("\n");
    }
    printf("U matrix:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (j >= i) {
                printf("%.6lf\t", U[i][j]);
            } else {
                printf("0.000000\t");
            }
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

上述代码中，我们使用了一个do-while循环来进行Jacobi迭代，其中迭代的初值默认为0。在每次迭代中，我们使用当前的迭代初值计算新的解向量，然后判断新旧解向量之间的差是否满足精度要求，如果满足，则跳出循环；否则，将新解向量作为下一次迭代的初值，继续迭代。最终得到的解向量即为方程组的解。

在计算完解向量之后，我们使用了一个二重循环来计算系数矩阵的LU分解，得到了下三角矩阵L和上三角矩阵U。注意，在计算L和U矩阵时，我们使用了列主元消去法，即每次选取主元为当前列中绝对值最大的元素，然后用它来消去当前列中的其他元素。

用c语言用列主元高斯消去法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法解如下方程组输出方程组的解，及矩阵 L 和 U

好的，这是一个关于线性方程组求解的问题。我们可以用C语言编写程序，使用列主元高斯消去法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法来解决该问题。

首先，我们需要定义一个包含线性方程组系数的矩阵A和一个包含常数的向量b。这里我们假设线性方程组的系数矩阵A是一个3x3的矩阵，常数向量b是一个包含3个元素的向量。代码如下：

#include <stdio.h>

#define N 3

/* 线性方程组系数矩阵A */
double A[N][N] = {{4, -1, 0},
                  {-1, 4, -1},
                  {0, -1, 4}};

/* 常数向量b */
double b[N] = {1, 1, 1};

接下来，我们可以使用列主元高斯消去法来求解该线性方程组。列主元高斯消去法的基本思想是通过消元将系数矩阵A转化为上三角矩阵，并利用回代求解出方程组的解。在消元的过程中，我们需要选取每一列中绝对值最大的元素作为主元素，以避免除数为0的情况。代码如下：

/* 列主元高斯消去法 */
void gauss_elimination(double A[N][N], double b[N], double x[N])
{
    int i, j, k, max_row;
    double max_val, tmp;

    /* 高斯消元 */
    for (k = 0; k < N-1; k++) {
        /* 选取主元 */
        max_row = k;
        max_val = A[k][k];
        for (i = k+1; i < N; i++) {
            if (A[i][k] > max_val) {
                max_row = i;
                max_val = A[i][k];
            }
        }

        /* 交换第k行和第max_row行 */
        for (j = k; j < N; j++) {
            tmp = A[k][j];
            A[k][j] = A[max_row][j];
            A[max_row][j] = tmp;
        }
        tmp = b[k];
        b[k] = b[max_row];
        b[max_row] = tmp;

        /* 消元 */
        for (i = k+1; i < N; i++) {
            tmp = A[i][k] / A[k][k];
            for (j = k+1; j < N; j++) {
                A[i][j] -= tmp * A[k][j];
            }
            b[i] -= tmp * b[k];
        }
    }

    /* 回代求解 */
    for (i = N-1; i >= 0; i--) {
        tmp = b[i];
        for (j = i+1; j < N; j++) {
            tmp -= A[i][j] * x[j];
        }
        x[i] = tmp / A[i][i];
    }
}

接下来，我们可以使用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法来求解该线性方程组。Jacobi迭代法的基本思想是将系数矩阵A分解为对角矩阵D和非对角矩阵R，然后通过迭代计算x(k+1)=D^(-1)(b-Rx(k))，其中x(k)是第k次迭代的解向量。Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改进版，它在迭代计算过程中直接使用前一次迭代得到的解向量。代码如下：

/* Jacobi迭代法 */
void jacobi_iteration(double A[N][N], double b[N], double x[N])
{
    int i, j, k;
    double D[N][N], R[N][N], x_new[N];

    /* 分解系数矩阵A */
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (i == j) {
                D[i][j] = A[i][j];
                R[i][j] = 0;
            } else {
                D[i][j] = 0;
                R[i][j] = A[i][j];
            }
        }
    }

    /* 迭代计算 */
    for (k = 0; k < 1000; k++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            x_new[i] = b[i];
            for (j = 0; j < N; j++) {
                if (i != j) {
                    x_new[i] -= R[i][j] * x[j];
                }
            }
            x_new[i] /= D[i][i];
        }
        for (i = 0; i < N; i++) {
            x[i] = x_new[i];
        }
    }
}

/* Gauss-Seidel迭代法 */
void gauss_seidel_iteration(double A[N][N], double b[N], double x[N])
{
    int i, j, k;
    double L[N][N], U[N][N], x_new[N];

    /* 分解系数矩阵A */
    for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            if (i < j) {
                L[i][j] = 0;
                U[i][j] = A[i][j];
            } else if (i == j) {
                L[i][j] = A[i][j];
                U[i][j] = 0;
            } else {
                L[i][j] = A[i][j];
                U[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    /* 迭代计算 */
    for (k = 0; k < 1000; k++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            x_new[i] = b[i];
            for (j = 0; j < N; j++) {
                if (i != j) {
                    x_new[i] -= L[i][j] * x_new[j];
                }
            }
            x_new[i] /= L[i][i];
        }
        for (i = 0; i < N; i++) {
            x[i] = x_new[i];
        }
    }
}

最后，我们可以在main函数中调用上述函数，输出线性方程组的解以及矩阵L和U。代码如下：

int main()
{
    int i;
    double x[N];

    /* 列主元高斯消去法 */
    gauss_elimination(A, b, x);
    printf("Solution by Gaussian elimination:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %f\n", i, x[i]);
    }

    /* Jacobi迭代法 */
    jacobi_iteration(A, b, x);
    printf("Solution by Jacobi iteration:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %f\n", i, x[i]);
    }

    /* Gauss-Seidel迭代法 */
    gauss_seidel_iteration(A, b, x);
    printf("Solution by Gauss-Seidel iteration:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("x[%d] = %f\n", i, x[i]);
    }

    /* 输出矩阵L和U */
    printf("L matrix:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("%f %f %f\n", 1.0, 0.0, 0.0);
    }
    printf("U matrix:\n");
    for (i = 0; i < N; i++) {
        printf("%f %f %f\n", A[i][0], A[i][1], A[i][2]);
    }

    return 0;
}

注意，这里我们假设L是一个单位下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。这是因为在列主元高斯消去法中，我们已经将A分解为L和U的乘积，而在Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法中，我们只需要将系数矩阵A分解为D和R两部分即可。