线性方程组jacobi迭代matlab

### Jacobi迭代法简介

Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。该方法通过不断更新变量的估计值来逼近真实解，直到满足给定的精度要求为止[^1]。

### MATLAB实现Jacobi迭代法

下面是一个具体的例子，展示如何使用MATLAB实现Jacobi迭代法求解如下形式的线性方程组：

\[ \begin{cases} 9x_1 - x_2 + x_3 = 10 \\ -x_1 + 10x_2 - 2x_3 = 7 \\ -2x_1 + x_2 + 10x_3 = 6 \end{cases} \]

初始猜测向量 \( x^{(0)}=(0,0,0)^T \)，精度要求为 \( ε=10^{-6} \)[^4]。

#### 实现步骤

定义系数矩阵A和常数项b:

% 定义系数矩阵 A 和 常数向量 b
A = [9 -1 1; -1 10 -2; -2 1 10];
b = [10; 7; 6];

初始化参数并设置最大迭代次数以及误差阈值:

% 初始化参数
n = length(b); % 方程数量
x_old = zeros(n, 1); % 初始解向量 (全零)
max_iter = 1000;     % 设置最大迭代次数
tolerance = 1e-6;    % 设定容差限值
iter_count = 0;
error = Inf;

D = diag(diag(A));       % 提取对角部分形成 D 矩阵
L_U = tril(A,-1)+triu(A,1); % L+U 的组合
inv_D = inv(D);

编写核心循环结构来进行迭代计算直至达到指定条件:

while error > tolerance && iter_count < max_iter
    x_new = inv_D * (b - L_U*x_old);

    % 计算当前解与上一步之间的差异作为误差衡量标准
    error = norm(x_new - x_old, inf);
    
    % 更新旧解为新获得的结果准备下一轮迭代
    x_old = x_new;
    
    % 继续增加计数器记录已执行了多少次迭代操作
    iter_count = iter_count + 1;
end
disp(['经过 ', num2str(iter_count), ' 次迭代后得到最终结果']);
disp('解向量:');
disp(x_new');

这段程序展示了完整的Jacobi迭代过程，在每次迭代中都会重新评估整个系统的状态，并据此调整各个未知数的新估值，从而逐步接近实际解决方案[^2]。