怎么证明根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n

首先，我们需要知道以下几个性质：

1. 矩阵 A 的秩 r(A) 表示 A 的列空间的维数，也表示 A 的行空间的维数。
2. 矩阵 A 的伴随矩阵 A* 的秩 r(A*) 表示 A 的行空间的维数，也表示 A 的列空间的维数。
3. 对于任意矩阵 A，有 r(A) ≤ min(m,n)，其中 m 和 n 分别是 A 的行数和列数。

根据以上性质，我们可以得到：

r(A) ≤ min(m,n)

r(A*) ≤ min(m*,n*)

其中，m* 和 n* 分别是 A* 的行数和列数。

由于 A* 的行数和列数分别为 n 和 m，因此：

m* = n

n* = m

将这两个式子代入上式可得：

r(A*) ≤ min(n,m) = min(m*,n*)

因此，有 r(A) r(A*) ≤ n。

相关问题

根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n

其中，r(A)表示矩阵A的秩，r(A*)表示矩阵A的共轭转置矩阵的秩，n表示矩阵A的列数（也是行数）。

这个性质的意义在于，矩阵A和其共轭转置矩阵A*的秩不可能超过矩阵A的列数（也是行数）。

举个例子，如果一个矩阵A是3×4的矩阵，那么它的列数为4，根据上述性质，r(A)和r(A*)都不可能超过4。如果r(A)=3，那么r(A*)最多只能是4-3=1；如果r(A*)=2，那么r(A)最多只能是4-2=2。

这个性质可以用来判断矩阵是否可逆，因为一个矩阵可逆当且仅当它的秩等于其列数（也是行数）。如果r(A)=n，那么A可逆；如果r(A)<n，那么A不可逆。

矩阵A,B;r（A+B)=n，r{A上，B在A下}是多少

根据矩阵秩的性质，有 $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$，因此 $r(A) + r(B) \geq r(A+B) = n$。

又因为 $B$ 在 $A$ 的下面，所以 $A$ 和 $B$ 的行向量是不同的，因此 $r(A) + r(B) = r(A \mid B)$，其中 $A \mid B$ 表示将矩阵 $A$ 和 $B$ 拼接在一起得到的新矩阵。

因此 $r(A \mid B) \geq r(A) + r(B) \geq n$。

又因为 $A \mid B$ 是 $n$ 行的矩阵，所以 $r(A \mid B) \leq n$。

综上可得，$r(A \mid B) = r(A) + r(B) = n$。