ln(1-x²)的二阶导数为[-2(1+x²) / (x²-1)²]

首先，先对 ln(1-x²) 求一阶导数：

d/dx[ln(1-x²)] = -2x / (1-x²)

然后，再对一阶导数求导数，即可得到二阶导数：

d²/dx²[ln(1-x²)] = d/dx[-2x / (1-x²)]
= 2(1-x²) / (1-x²)² - 2x(-2x) / (1-x²)³
= 2(1+x²) / (x²-1)²

因此，ln(1-x²)的二阶导数为[-2(1+x²) / (x²-1)²]。

相关问题

dy/dx+(x+(1+3x²)/(1+x+x³))y=x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³) y(0)=1

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出对应的齐次方程的通解：

dy/dx + xy = 0

将dy/dx 和 y 分离变量，得到：

dy / y = -x dx

两边同时积分，得到：

ln|y| = -1/2 x² + C1

其中，C1 是一个任意常数。解出 y，得到：

y = Ce^(-1/2 x²)

其中，C 是一个任意常数。

接下来，使用常数变易法，假设通解为：

y = u(x)e^(-1/2 x²)

将 y 和它的导数带入原方程中：

(u' + xu)e^(-1/2 x²) + (x+(1+3x²)/(1+x+x³))u(x)e^(-1/2 x²) = x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³)

化简得到：

u'(x)e^(-1/2 x²) = x³e^(1/2 x²)

两边同时积分，得到：

u(x) = 1/2 ∫x³ e^(1/2 t²) dt + C2

其中，C2 是一个任意常数。

因此，通解为：

y = Ce^(-1/2 x²) + 1/2 e^(-1/2 x²) ∫x³ e^(1/2 t²) dt

将初始条件 y(0) = 1 带入，得到：

C + 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt = 1

解出常数 C，得到：

C = 1 - 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt

将 C 带入通解中，即可得到特解。

dy/dx+(x+(1+3x²)/(1+x+x³))y=x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³) y(0)=1.

这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。

首先，求出对应的齐次方程的通解：

dy/dx + xy = 0

将dy/dx 和 y 分离变量，得到：

dy/y = -x dx

两边同时积分，得到：

ln|y| = -1/2 x² + C1

其中，C1 是一个任意常数。解出 y，得到：

y = Ce^(-1/2 x²)

其中，C 是一个任意常数。

接下来，使用常数变易法，假设通解为：

y = u(x)e^(-1/2 x²)

将 y 和它的导数带入原方程中：

(u' + xu)e^(-1/2 x²) + (x+(1+3x²)/(1+x+x³))u(x)e^(-1/2 x²) = x³+2x+x²(1+3x²)/(1+x+x³)

化简得到：

u'(x)e^(-1/2 x²) = x³e^(1/2 x²)

两边同时积分，得到：

u(x) = 1/2 ∫x³ e^(1/2 t²) dt + C2

其中，C2 是一个任意常数。

因此，通解为：

y = Ce^(-1/2 x²) + 1/2 e^(-1/2 x²) ∫x³ e^(1/2 t²) dt

将初始条件 y(0) = 1 带入，得到：

C + 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt = 1

解出常数 C，得到：

C = 1 - 1/2 ∫0³ e^(1/2 t²) dt

将 C 带入通解中，即可得到特解。