matlab编程求方程x^3-x^2-1在x0=1.5附近的一个根,将方程改写为x^3=1+x^2,迭代公式x(k+1)=(1+x(k)^2)^(1/3),分析公式的收敛性,根的精度为四位有效数字
时间: 2023-10-15 08:04:00 浏览: 35
为了求解方程$x^3-x^2-1=0$在$x_0=1.5$附近的根,我们可以使用牛顿迭代法。具体来说,我们需要用以下公式迭代计算$x_{k+1}$:
$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$
其中$f(x)=x^3-x^2-1$,$f'(x)=3x^2-2x$。
首先,我们需要计算$f(x_0)$和$f'(x_0)$的值:
$$f(x_0)=1.375$$
$$f'(x_0)=3.75$$
然后,我们可以使用上述公式计算$x_1$:
$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1.5-\frac{1.375}{3.75}=1.1667$$
接下来,我们可以继续使用上述公式计算$x_2$:
$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=1.1678$$
继续迭代,直到满足精度要求为止。
现在,我们将方程$x^3-x^2-1=0$改写为$x^3=1+x^2$,并使用迭代公式$x_{k+1}=(1+x_k^2)^{1/3}$,来计算方程的根。
为了分析公式的收敛性,我们可以计算迭代公式的导数:
$$f'(x)=\frac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}$$
我们可以发现,当$x>0$时,$f'(x)>0$,因此迭代公式单调递增。
另外,我们还可以计算迭代公式的二阶导数:
$$f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{9(1+x^2)^{5/3}}$$
当$x>0$时,$f''(x)<0$,因此迭代公式的二阶导数是单调递减的。
综合以上分析,我们可以得出结论:迭代公式$x_{k+1}=(1+x_k^2)^{1/3}$收敛且单调递增,可以用来求解方程$x^3=1+x^2$的根。
为了达到四位有效数字的精度,我们可以在迭代过程中判断两次迭代之间的相对误差是否小于$10^{-4}$。如果满足要求,则停止迭代。