(8cos⁡t-4sin⁡t+6)/3的最大值和最小值是多少

我们可以将(8cos⁡t-4sin⁡t+6)/3表示为关于t的函数f(t)，即：
f(t) = (8cos⁡t-4sin⁡t+6)/3

我们需要求出f(t)的最大值和最小值，可以通过求f(t)的一阶导数和二阶导数来实现。

f'(t) = (-8sin⁡t-4cos⁡t)/3，令f'(t)=0，可得临界点为t=arctan(-2)，代入f(t)得到f(arctan(-2))≈4.74。

f''(t) = (-8cos⁡t+4sin⁡t)/3，当t=arctan(-2)时，f''(t)>0，说明f(t)在该点处取得极小值。

因此，(8cos⁡t-4sin⁡t+6)/3的最小值为f(arctan(-2))≈4.74。最大值则在t=arctan(-2)+π时取得，即f(arctan(-2)+π)≈8.26。

相关问题

t的取值范围是[0,2*pi]，求(8 cos⁡t-4 sin⁡t+6)/3的最大最小值

我们可以将该式子改写为以下形式：

(8*cos(t) - 4*sin(t) + 6)/3 = (8/3)*cos(t) - (4/3)*sin(t) + 2

令 a = 8/3，b = -4/3，c = 2，则该式子可以表示为：

y = a*cos(t) + b*sin(t) + c

根据三角函数的性质，a和b的平方和为：

a^2 + b^2 = (8/3)^2 + (-4/3)^2 = 80/9

因此，R = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(80/9) = 8/3*sqrt(5)。

又因为a和b的符号分别为正和负，所以φ = arctan(b/a) = arctan((-4/3)/(8/3)) = -π/6。

于是，我们可以将原式表示为：

y = (8/3)*cos(t) - (4/3)*sin(t) + 2 = R*cos(t - φ) + c

根据cos函数的性质，cos(t - φ)的最大值为1，最小值为-1。

因此，y的最大值为R + c = 8/3*sqrt(5) + 2，最小值为-R + c = -8/3*sqrt(5) + 2。

所以，(8*cos(t) - 4*sin(t) + 6)/3的最大值为8/3*sqrt(5) + 2，最小值为-8/3*sqrt(5) + 2。

怎么求a*cos(⁡t)-b*sin⁡(t)的最大最小值

我们可以将这个式子改写为一个三角函数的形式，即：

a*cos(t) - b*sin(t) = R*cos(t - φ)

其中，R = sqrt(a^2 + b^2)，φ = arctan(b/a)。

那么，R*cos(t - φ)的最大值为R，最小值为-R。

因此，原式的最大值为R，即sqrt(a^2 + b^2)，最小值为-R，即-sqrt(a^2 + b^2)。