如何生成orthonormal 信号

生成orthonormal信号的方法有多种，以下是其中两种常见的方法：

1. Gram-Schmidt正交化方法

Gram-Schmidt正交化方法是一种通过将一组线性无关的向量正交化得到一组正交向量的方法。具体步骤如下：

给定一组线性无关的向量 {v1, v2, ..., vn}，先对第一个向量 v1 进行单位化，即将其除以其模长，得到一个单位向量 u1，即：

u1 = v1 / ||v1||

然后，对于第 i 个向量 vi，先将其与前面的所有向量 {v1, v2, ..., vi-1} 做内积，并将其投影到前面向量的正交补空间上，得到它在正交补空间中的分量，然后将其减去该分量，得到一个新的向量 wi，使得wi与前面的所有向量正交。最后，将wi单位化，得到一个单位向量 ui，即：

wi = vi - proj_{u1}(vi) - proj_{u2}(vi) - ... - proj_{ui-1}(vi)
ui = wi / ||wi||

如此重复，直到得到 n 个正交的单位向量 {u1, u2, ..., un}。

2. DFT (离散傅里叶变换)

DFT 是一种将一个长度为 N 的实数序列转换为一个长度为 N 的复数序列的方法。在 DFT 中，可以生成一组正交的基函数，即旋转因子，这些旋转因子构成的集合即为正交基。

具体来说，设 x[n] 为长度为 N 的实数序列，则其 DFT 可以表示为：

X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] * exp(-2*pi*i*n*k/N)

其中，exp(-2*pi*i*n*k/N) 即为旋转因子，k=0,1,2,...,N-1，其共有 N 个，且它们两两正交。对于任意的 k1, k2，有：

\sum_{n=0}^{N-1} exp(-2*pi*i*n*k1/N) * exp(2*pi*i*n*k2/N) = { N, k1=k2; 0, k1!=k2 }

因此，这 N 个旋转因子构成了一组正交基。