任何一个自然数n的立方都等于n个连续奇数之和

### 回答1：
这个结论是正确的。具体来说，对于任意一个自然数n，它的立方可以表示为n个连续奇数之和，即：

n^3 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1)

这个式子可以通过数学归纳法来证明。当n=1时，显然有1^3=1，也就是1个连续奇数之和。假设当n=k时上述式子成立，即k^3 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)。那么当n=k+1时，我们可以将k^3展开，得到：

k^3 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1)

将每个数乘以2，再加上2k+1，得到：

2k^3 + 6k^2 + 6k + 1 = (2k+1) + (2k+3) + ... + (2k+2k+1)

也就是：

(k+1)^3 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k+1)

因此，对于任意一个自然数n，它的立方都等于n个连续奇数之和。

### 回答2：
这个结论可以用数学归纳法来证明。

首先，当n=1时，1的立方等于1个连续奇数1，结果显然成立。

假设对于任何k∈N，k的立方都等于k个连续奇数之和，即1^3+3^3+...+(2k-1)^3=k^3，成立。

现在来证明对于k+1也成立，即(1+3+...+(2k-1)+(2k+1))的立方等于k+1个连续奇数之和。

首先，我们可以把(1+3+...+(2k-1))看作1~(2k-1)中所有奇数之和，即(2k-1)^2=k^2+(2k-1)。因此，(1+3+...+(2k-1)+(2k+1))=k^2+(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k，而(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1。

因此，我们可以得到(k+1)^3=(1^3+3^3+...+(2k-1)^3)+(2k+1)^3，即(k+1)^3等于k个连续奇数之和加上一个奇数的立方。这就证明了任何一个自然数n的立方都等于n个连续奇数之和。

### 回答3：
对于任何一个自然数n，它的一半是n/2。从1开始，连续的n个奇数相加，等同于1+3+5+7+...+(n-2)+(n-4)+(n-6)+(n-8)+...+(3)+(1)。

这个序列可以分成两个部分：

1. 前面的一半奇数序列（1到n-1），等同于1+3+5+7+...+(n-2)；
2. 后面的一半奇数序列（n-1到1），等同于(n-4)+(n-6)+(n-8)+...+3+1。

两部分相加，每个数恰好出现一次，总和为n*n。

因此，任何一个自然数n的立方都等于n个连续奇数之和，即n^3=1+3+5+...+(2n-3)+(2n-1)。