BZOJ2179: FFT快速傅立叶 FFT实现高精度乘法

这道题目是要求用 FFT 实现高精度乘法。我们可以先将两个高精度数转换为多项式，然后对这两个多项式进行相乘，最后将结果转换为高精度数输出即可。

具体来说，将两个高精度数 $a$ 和 $b$ 分别转换为多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$：

$$
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} \\
B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_{n-1}x^{n-1}
$$

其中 $n$ 是 $a$ 和 $b$ 的位数，为了方便计算，我们要将 $n$ 扩展到 $2^k$，并在低位补 0。即：

$$
A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + 0x^n + \cdots + 0x^{2^k-1} \\
B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \cdots + b_{n-1}x^{n-1} + 0x^n + \cdots + 0x^{2^k-1}
$$

接下来我们需要用 FFT 对 $A(x)$ 和 $B(x)$ 进行多项式乘法，得到多项式 $C(x) = A(x) \times B(x)$。然后将 $C(x)$ 转换为高精度数输出即可。

注意，由于 FFT 实现的是循环卷积，而我们要求的是线性卷积，因此在进行 FFT 前需要对 $A(x)$ 和 $B(x)$ 进行点值扩展，即令 $A'(x) = A(x) \times x^k$，$B'(x) = B(x) \times x^k$，其中 $k = 2^k - n$。这样得到的 $C'(x) = A'(x) \times B'(x)$ 在进行 FFT 后，其前 $n$ 项即为 $C(x)$ 的系数项，可以直接转换为高精度数输出。

代码实现如下：