二次规划求解对偶支持向量机
时间: 2023-11-13 15:02:46 浏览: 49
对于支持向量机,我们可以通过求解一个凸二次规划问题来得到其最优解。而对于支持向量机的对偶形式,我们同样可以通过求解一个凸二次规划问题来得到其最优解。在对偶形式中,我们可以将内积的计算提前,并且只需要使用到内积的计算,这为后续的非线性支持向量机的推导提供了便利。而对于孪生支持向量机(TWSVM)以及其变体模型,它们也是通过独立求解两个带有约束条件的对偶二次规划问题来实现的。但是由于每个对偶的QPP所需求解的对偶变量的数量由数据集的大小决定,因此在处理大规模数据集时,需要采用一些特殊的技巧来加速求解过程。
相关问题
python求解二次规划的对偶问题的代码
以下是使用cvxopt库求解二次规划对偶问题的Python代码:
```python
import numpy as np
from cvxopt import matrix, solvers
# 定义二次规划问题的相关参数
P = matrix(np.array([[1.0, 0.5], [0.5, 2.0]]))
q = matrix(np.array([-5.0, -6.0]))
G = matrix(np.array([[-1.0, 0.0], [0.0, -1.0], [-1.0, -3.0], [2.0, 5.0]]))
h = matrix(np.array([0.0, 0.0, -15.0, 100.0]))
# 求解二次规划问题的对偶问题
sol = solvers.qp(P=P, q=q, G=G.T, h=h)
print(sol['x'])
```
需要注意的是,对偶问题中的矩阵$G$和向量$h$需要转置,即求解对偶问题时应该使用$G^T$和$h$。同时,这里使用了cvxopt库中的qp函数,它可以同时求解原问题和对偶问题,只需要将对应的矩阵和向量传入即可。
最小二乘支持向量机的对偶问题
最小二乘支持向量机(Least Squares Support Vector Machine, LSSVM)是一个基于核方法的线性模型,它的主要目标是找到一个决策边界,使得数据点到这个边界的距离平方和最小,同时最大化类别间隔。LSSVM通常用于解决非线性问题,通过使用核技巧将其转化为线性可解的形式。
对偶问题在优化中起着关键作用,特别是在支持向量机中,特别是SVM(包括最小二乘版本)。原始的LSSVM优化问题是求解一个凸二次规划问题,但其对偶形式通常更易于求解,并且在某些情况下可以提供更好的理论分析和计算效率。
对偶问题将原问题从硬间隔约束转换为软间隔,引入了拉格朗日乘子。原始的LSSVM优化问题可以表示为:
\[
\min_{w, b, \xi} \frac{1}{2} w^T w + C \sum_i \xi_i
\]
其中 \( w \) 是权重向量,\( b \) 是偏置,\( \xi_i \) 是松弛变量,\( C \) 是惩罚参数,用于平衡误分类的影响和模型复杂度。
对偶问题则是寻找拉格朗日乘子 \( \alpha \) 来最大化以下函数,同时满足一定的KKT条件:
\[
\max_{\alpha} \frac{1}{2} \sum_{i, j} y_i y_j K(x_i, x_j) - \sum_i \alpha_i
\]
其中 \( K(\cdot, \cdot) \) 是核函数,\( y_i \) 是第 \( i \) 个样本的标签(-1 或 1)。
对偶问题的最优解 \( \alpha \) 可以通过SVM的优化算法(如SMO或 Platt 层次下降)得到,而原始问题的解 \( w \) 和 \( b \) 可以通过 \( \alpha \) 计算得出,这是著名的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件的体现。
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