0 1二分类 交叉熵损失函数

### 关于0-1二分类问题中的交叉熵损失函数

#### 定义与解释
对于0-1二分类问题，交叉熵损失函数用于衡量模型预测的概率分布与真实标签之间的差异。假设有一个样本的真实标签 \( y \in {0, 1} \)，而模型给出的预测概率为 \( p(y=1|x) = p \)，则该样本对应的交叉熵损失可以表示为：

\[ L(p,y)= -(y\log{p}+(1-y)\log{(1-p)}) \]

这个公式意味着当实际类别是正类（\( y=1 \)），那么只考虑前半部分；如果是负类（\( y=0 \)），就仅关注后半部分。

#### 实现方式
在Python中利用`scikit-learn`库计算交叉熵损失非常方便。下面是一个简单的例子来展示如何使用它[^1]：

from sklearn.metrics import log_loss
import numpy as np

# 假设这是真实的标签向量
true_labels = [0, 1, 1, 0]
# 而这里是对应位置上每个实例被分为正类别的概率估计值列表
predicted_probabilities = [[0.9], [0.8], [0.75], [0.2]]

print(log_loss(true_labels, predicted_probabilities))

此外，在神经网络训练过程中通常会通过调整权重使得整个数据集上的平均交叉熵最小化[^3]。这有助于提高模型性能并减少过拟合风险。

#### Softmax vs Sigmoid
值得注意的是，在处理多分类任务时常用到softmax激活函数配合相应的交叉熵形式；但对于二元情况，则更多地采用sigmoid作为最后一层非线性变换单元，并配合适当地定义好的上述提到过的那种特殊形态下的交叉熵表达式来进行优化求解过程[^4]。