如何用极大似然估计来估计一组时间序列的维纳过程参数，用matlab实现

假设有一个时间序列 $y_t$，其模型为：

$$y_t = \mu + \varepsilon_t$$

其中 $\mu$ 为均值，$\varepsilon_t$ 为维纳过程，满足：

$$\varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$$

维纳过程具有以下性质：

$$E(\varepsilon_t) = 0$$
$$E(\varepsilon_t^2) = \sigma^2$$
$$E(\varepsilon_t\varepsilon_{t-j}) = 0, j\neq0$$

因此，可以用极大似然估计来估计参数 $\mu$ 和 $\sigma^2$。极大似然估计的目标是找到最大化似然函数 $\mathcal{L}$ 的参数值：

$$\mathcal{L}(\mu, \sigma^2) = \prod_{t=1}^n f(y_t; \mu, \sigma^2)$$

其中 $f(y_t;\mu,\sigma^2)$ 是 $\varepsilon_t$ 的概率密度函数。

对于维纳过程，其概率密度函数为：

$$f(y_t;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y_t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

将其代入似然函数中，得到：

$$\mathcal{L}(\mu, \sigma^2) = \prod_{t=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y_t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

对数似然函数为：

$$\ln \mathcal{L}(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - n\ln(\sigma) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{t=1}^n(y_t-\mu)^2$$

最大化对数似然函数等价于最小化 $\sum_{t=1}^n(y_t-\mu)^2$。

因此，可以用样本均值作为 $\mu$ 的估计值：

$$\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n y_t$$

用样本方差作为 $\sigma^2$ 的估计值：

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{t=1}^n(y_t-\hat{\mu})^2$$

下面是用 Matlab 实现的代码：

% 生成维纳过程数据
n = 1000;
mu = 1;
sigma = 2;
epsilon = sigma * randn(n, 1);
y = mu + epsilon;

% 用极大似然估计计算参数
mu_hat = mean(y);
sigma_hat = sqrt(mean((y - mu_hat).^2));

disp(['mu: true=', num2str(mu), ', estimated=', num2str(mu_hat)]);
disp(['sigma: true=', num2str(sigma), ', estimated=', num2str(sigma_hat)]);

其中，生成了一个长度为 1000 的维纳过程数据，使用样本均值和样本方差作为参数的估计值。最后输出了真实值和估计值。