基于双边Jacobi求解SVD步骤与Matlab算法实现

SVD（奇异值分解）是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是左奇异向量矩阵，一个矩阵是右奇异向量矩阵，还有一个矩阵是奇异值矩阵。在实际应用中，SVD经常被用于矩阵降维、数据压缩和信号处理等领域。

双边Jacobi求解SVD是一种常用的SVD求解方法，它通过迭代的方式不断逼近矩阵的SVD分解结果。该算法的具体步骤如下：

1. 初始化

对于一个$m \times n$的矩阵$A$，首先将其转化为一个对称矩阵$B=A^TA$。然后，设置初始值$U=V=I_n$，其中$I_n$是$n$阶单位矩阵。

2. 迭代计算

在每次迭代中，对矩阵$B$进行Jacobi旋转，得到$B_k$：

$$B_k=J^TBJ$$

其中$J$是一个$n \times n$的Jacobi旋转矩阵，它可以将矩阵$B_{k-1}$的某一对对角线元素旋转为$0$。具体而言，设$B_{k-1}$的第$i$行第$j$列和第$j$行第$i$列的元素为$b_{ij}$和$b_{ji}$，则$J$的第$i$行第$i$列和第$j$行第{j}列的元素为：

$$\begin{cases}
\cos{\theta} & i=j \\
\sin{\theta} & i<j \\
-\sin{\theta} & i>j \\
\end{cases}$$

其中$\theta$是旋转角度，满足：

$$\tan{2\theta}=\frac{2b_{ij}}{b_{ii}-b_{jj}}}$$

旋转后的矩阵$B_k$的对角线元素就是$A$的奇异值的平方。

同时，我们也要更新$U$和$V$的值，具体而言，设$J=[j_{ij}]$，则：

$$U_k=U_{k-1}J$$

$$V_k=V_{k-1}J$$

3. 判断终止条件

在每次迭代中，计算矩阵$B_k$的对角线元素的变化量$|b_{ii}^{k-1}-b_{ii}^{k}|$。当变化量小于某个阈值时，停止迭代。

4. 计算奇异值和奇异向量

最终得到的矩阵$B_k$的对角线元素就是矩阵$A$的奇异值的平方，即$\sigma_i^2$。而矩阵$U_k$和$V_k$的每一列就是$A$的左奇异向量和右奇异向量。

下面是在Matlab中实现双边Jacobi求解SVD的代码：

function [U, S, V] = SVD(A)
% 输入：矩阵A
% 输出：矩阵A的左奇异向量矩阵U、奇异值矩阵S、右奇异向量矩阵V

[m, n] = size(A);

% 初始化
B = A' * A;
U = eye(n);
V = eye(n);

% 迭代计算
while true
    % 判断终止条件
    delta = abs(diag(B, -1)) - abs(diag(B, 1));
    if all(abs(delta) < 1e-10)
        break;
    end
    
    % Jacobi旋转
    for i = 1 : n-1
        for j = i+1 : n
            if abs(B(i,j)) < 1e-10
                continue;
            end
            
            delta = (B(j,j) - B(i,i)) / (2 * B(i,j));
            t = sign(delta) / (abs(delta) + sqrt(1 + delta^2));
            c = 1 / sqrt(1 + t^2);
            s = c * t;
            
            % 更新B
            temp1 = B(i,i);
            temp2 = B(j,j);
            B(i,i) = temp1 * c^2 + temp2 * s^2 - 2 * B(i,j) * c * s;
            B(j,j) = temp1 * s^2 + temp2 * c^2 + 2 * B(i,j) * c * s;
            B(i,j) = 0;
            B(j,i) = 0;
            
            % 更新U和V
            temp1 = U(:,i);
            temp2 = U(:,j);
            U(:,i) = temp1 * c + temp2 * s;
            U(:,j) = -temp1 * s + temp2 * c;
            temp1 = V(:,i);
            temp2 = V(:,j);
            V(:,i) = temp1 * c + temp2 * s;
            V(:,j) = -temp1 * s + temp2 * c;
        end
    end
end

% 计算奇异值和奇异向量
S = sqrt(abs(diag(B)));
U = A * V ./ repmat(S', m, 1);
end

在实际使用中，我们可以将矩阵$A$进行中心化处理，即将每一列的均值减去该列所有元素的平均值，然后再进行SVD分解。这可以避免由于列之间的差异导致的不准确性。