正定矩阵的平方根矩阵求法
时间: 2023-10-05 14:07:06 浏览: 184
正定矩阵的平方根矩阵求法可以通过Cholesky分解来实现。Cholesky分解是一种将正定矩阵分解为下三角矩阵乘以其共轭转置的方法。具体步骤如下:
1. 将正定矩阵A进行LU分解,其中L是一个下三角矩阵,U是一个上三角矩阵。这可以通过高斯消去法的约化过程来实现。
2. 对L进行求转置,得到L的共轭转置矩阵L*。
3. 计算L和L*的乘积,得到平方根矩阵S,即S = L * L*。
通过以上步骤,我们可以得到正定矩阵A的平方根矩阵S。需要注意的是,正定矩阵的平方根是唯一的,并且S也是一个正定矩阵。
引用中提到了将高斯消去法的约化过程应用于正定矩阵的Cholesky分解的证明方法,这个方法具体给出了如何构造性地计算分解的过程。如果你对这个证明过程感兴趣,可以参考该文献进一步了解。
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matlab平方根法
Matlab平方根法是一种用于求解线性方程组的数值方法。它基于矩阵的特征值和特征向量的性质来进行计算。下面是Matlab平方根法的步骤:
1. 将线性方程组表示为矩阵形式:Ax = b,其中A是一个对称正定矩阵,x是未知向量,b是已知向量。
2. 对矩阵A进行特征值分解:A = QΛQ^T,其中Q是正交矩阵,Λ是对角矩阵,对角线上的元素是A的特征值。
3. 计算Λ的平方根:Λ^(1/2)是一个对角矩阵,对角线上的元素是Λ的特征值的平方根。
4. 计算Q^Tb得到新的向量c。
5. 解方程组:Λ^(1/2)y = c,其中y是未知向量。
6. 计算x = Qy,得到线性方程组的解。
Matlab中可以使用函数`chol`来实现平方根法求解线性方程组。具体使用方法如下:
```matlab
A = ...; % 输入对称正定矩阵A
b = ...; % 输入已知向量b
L = chol(A); % 对矩阵A进行Cholesky分解,得到下三角矩阵L
y = L'\b; % 解方程Ly = b,得到向量y
x = L\y; % 解方程L'x = y,得到线性方程组的解x
```
这样就可以利用Matlab的平方根法求解线性方程组了。
改进平方根法 matlab
改进平方根法是一种用于解决线性方程组的方法,特别适用于对称正定矩阵。下面是一个使用MATLAB实现改进平方根法的例子:
```matlab
% 用改进的平方根法求解线性方程组Ax = b,其中A应为对称正定阵
% 参考文章:https://blog.csdn.net/AmazingM/article/details/118763704
% (本文中使用的lu_decompose函数便是上述文章中的)
function x = gai_jin_ping_fang_gen_fa_Solve_systems_of_linear_equations(A,b)
% x为求解结果;A为系数矩阵;b为等号右边那些数组成的列向量
format rat % 实现最终结果以分数形式输出;若希望通过小数输出,将此代码注释即可
[L,~] = lu_decompose(A); % 调用LU分解函数
D = (L\A)/L'; % D为正定矩阵,L为单位下三角阵,A为外部传入的系数矩阵
x = (L'\inv(D))*(L\b); % x便是最终求解结果,并作为返回值输出
end
```
请注意,上述代码中的`lu_decompose`函数是一个用于进行LU分解的函数,你可以根据需要自行实现或使用现有的LU分解函数。