$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$ 翻译成公式

$X = \begin{bmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,d} \\
x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,d} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,d}
\end{bmatrix}$

相关问题

求证下面的集合为凸集：\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}

我们可以通过证明该集合的定义域为凸集来证明该集合本身也是凸集。设$x,y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，则有$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$。对于任意$\lambda\in[0,1]$，我们有
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)=\lambda^2x_1x_2+\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)+(1-\lambda)^2y_1y_2$$
由于$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$，所以$\lambda^2x_1x_2\ge\lambda^2\alpha$和$(1-\lambda)^2y_1y_2\ge(1-\lambda)^2\alpha$。又因为$x_1y_2+x_2y_1\ge2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\ge2\alpha$，所以$\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)\ge2\lambda(1-\lambda)\alpha$。因此，
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)\ge\lambda^2\alpha+2\lambda(1-\lambda)\alpha+(1-\lambda)^2\alpha=\alpha$$
即$\lambda x+(1-\lambda)y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$，因此该集合为凸集。

将一下代码翻译成符号$\forall$：对于所有的； $\exists$：存在一个； $\in$：属于； $\notin$：不属于； $\cup$：并集； $\cap$：交集； $\mathbb{N}$：自然数集合； $\mathbb{Z}$：整数集合； $\mathbb{Q}$：有理数集合； $\mathbb{R}$：实数集合； $\mathbb{C}$：复数集合； $\lim$：极限； $\rightarrow$：趋于； $=$：等于； $\neq$：不等于； $\approx$：约等于； $\times$：乘号； $+$：加号； $-$：减号； $\div$：除号； $\frac{a}{b}$：分数线； $\sqrt{x}$：开方符号； $\int$：定积分号； $\sum$：求和号。

$\forall$：对于所有的；
$\exists$：存在一个；
$\in$：属于；
$\notin$：不属于；
$\cup$：并集；
$\cap$：交集；
$\mathbb{N}$：自然数集合；
$\mathbb{Z}$：整数集合；
$\mathbb{Q}$：有理数集合；
$\mathbb{R}$：实数集合；
$\mathbb{C}$：复数集合；
$\lim$：极限；
$\rightarrow$：趋于；
$=$：等于；
$\neq$：不等于；
$\approx$：约等于；
$\times$：乘号；
$+$：加号；
$-$：减号；
$\div$：除号；
$\frac{a}{b}$：分数线；
$\sqrt{x}$：开方符号；
$\int$：定积分号；
$\sum$：求和号。