$X \in \mathbb{R}^{n \times d}$ 翻译成公式
时间: 2023-05-30 15:06:33 浏览: 46
$X = \begin{bmatrix}
x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,d} \\
x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,d} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n,1} & x_{n,2} & \cdots & x_{n,d}
\end{bmatrix}$
相关问题
求证下面的集合为凸集:\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}
我们可以通过证明该集合的定义域为凸集来证明该集合本身也是凸集。设$x,y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$,则有$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$。对于任意$\lambda\in[0,1]$,我们有
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)=\lambda^2x_1x_2+\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)+(1-\lambda)^2y_1y_2$$
由于$x_1x_2\ge\alpha$和$y_1y_2\ge\alpha$,所以$\lambda^2x_1x_2\ge\lambda^2\alpha$和$(1-\lambda)^2y_1y_2\ge(1-\lambda)^2\alpha$。又因为$x_1y_2+x_2y_1\ge2\sqrt{x_1x_2y_1y_2}\ge2\alpha$,所以$\lambda(1-\lambda)(x_1y_2+x_2y_1)\ge2\lambda(1-\lambda)\alpha$。因此,
$$(\lambda x_1+(1-\lambda)y_1)(\lambda x_2+(1-\lambda)y_2)\ge\lambda^2\alpha+2\lambda(1-\lambda)\alpha+(1-\lambda)^2\alpha=\alpha$$
即$\lambda x+(1-\lambda)y\in\{x\in\mathbb R^n_+|x_1x_2\ge\alpha\}$,因此该集合为凸集。
证明:投影矩阵$P \in \mathbb{R}^{n \times n}$是正交投影矩阵的充要条件是$P^\top=P$.
充分性:
若$P$是正交投影矩阵,则$P^2 = P$且$P$是正交矩阵,即$P^\top P = P P^\top = I$。同时,由于$P^2=P$,我们有$P^\top=P^{-1}$。因此:
$$P^\top P = P P^\top = I$$
$$P^\top P = I$$
$$P^\top = P$$
因此,$P^\top=P$是正交投影矩阵的充分条件。
必要性:
若$P^\top=P$,我们需要证明$P^2=P$且$P$是正交矩阵。对于任意向量$x\in \mathbb{R}^n$,有:
$$P^2x = P(Px) = P(P^\top x) = PP^\top x = Px$$
因此,$P^2=P$。同时,对于任意向量$x, y \in \mathbb{R}^n$,我们有:
$$\langle Px, Py\rangle = x^\top P^\top Py = x^\top PPy = \langle x, Py\rangle$$
因此,$P$是正交矩阵。因此,$P^\top=P$是正交投影矩阵的必要条件。
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