设a是正有理数且不是$\mathbb{Q}$中数的平方,证明$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{a}):\mathbb{Q}]=4$
时间: 2023-11-01 07:37:36 浏览: 28
设$b=\sqrt[4]{a}$,则$b^2=\sqrt{a}\notin \mathbb{Q}$,因此$b$是$\mathbb{Q}(\sqrt{a})$的二次扩张元,即$[\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}(\sqrt{a})]=2$。
此外,$b\notin\mathbb{Q}(\sqrt{a})$,因为如果$b\in\mathbb{Q}(\sqrt{a})$,则$a=(\sqrt{a})^2=(b^2)^2=(b^4)^{\frac{1}{2}}\in\mathbb{Q}$,矛盾。
因此,$[\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}(\sqrt{a})]=2$,$[\mathbb{Q}(\sqrt{a}):\mathbb{Q}]=2$,从而$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{a}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{a}):\mathbb{Q}(b)][\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}(\sqrt{a})][\mathbb{Q}(\sqrt{a}):\mathbb{Q}]=4$。
因此,$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{a}):\mathbb{Q}]=4$。
相关问题
证明:$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$
首先我们有$\sqrt{2}+\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$,因此$\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$。
反过来证明,我们需要证明$\sqrt{2},\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
我们有$\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5}{2}$,因此$\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
同理,我们有$\sqrt{3}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
因此,我们得出$\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})\supseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$。
综上,$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
将一下代码翻译成符号$\forall$:对于所有的; $\exists$:存在一个; $\in$:属于; $\notin$:不属于; $\cup$:并集; $\cap$:交集; $\mathbb{N}$:自然数集合; $\mathbb{Z}$:整数集合; $\mathbb{Q}$:有理数集合; $\mathbb{R}$:实数集合; $\mathbb{C}$:复数集合; $\lim$:极限; $\rightarrow$:趋于; $=$:等于; $\neq$:不等于; $\approx$:约等于; $\times$:乘号; $+$:加号; $-$:减号; $\div$:除号; $\frac{a}{b}$:分数线; $\sqrt{x}$:开方符号; $\int$:定积分号; $\sum$:求和号。
$\forall$:对于所有的;
$\exists$:存在一个;
$\in$:属于;
$\notin$:不属于;
$\cup$:并集;
$\cap$:交集;
$\mathbb{N}$:自然数集合;
$\mathbb{Z}$:整数集合;
$\mathbb{Q}$:有理数集合;
$\mathbb{R}$:实数集合;
$\mathbb{C}$:复数集合;
$\lim$:极限;
$\rightarrow$:趋于;
$=$:等于;
$\neq$:不等于;
$\approx$:约等于;
$\times$:乘号;
$+$:加号;
$-$:减号;
$\div$:除号;
$\frac{a}{b}$:分数线;
$\sqrt{x}$:开方符号;
$\int$:定积分号;
$\sum$:求和号。
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