假设 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$, 且 $\alpha=\x^\top\A\x$, 试求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$
时间: 2023-09-30 21:04:02 浏览: 46
根据给定的条件,我们有 $\alpha = \x^\top\A\x$,其中 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$ 是一个实数矩阵,$\x$ 是一个 $n$ 维列向量。
我们可以对 $\alpha$ 求偏导数,即求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$。
首先,将 $\alpha$ 展开:
$$
\alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j
$$
接下来,我们对 $\alpha$ 分别对 $x_k$ 求偏导数,其中 $k=1,2,...,n$。注意到在求导过程中,我们只需要关注与 $x_k$ 有关的项。
$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j\right)
$$
由于在求导时,只有与 $x_k$ 有关的项才会对求导结果产生影响,所以我们可以把与 $x_k$ 无关的项移出求导符号:
$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j)
$$
接下来,我们对 $x_i x_j$ 求偏导数。注意到 $x_i x_j$ 是两个变量的乘积,所以我们需要使用乘法法则来求导。
当 $i=k$ 且 $j\neq k$ 时,$x_i$ 是常数,$x_j$ 对 $x_k$ 求导结果为 $0$;同理,当 $i\neq k$ 且 $j=k$ 时,$x_i$ 对 $x_k$ 的求导结果也是 $0$。
当 $i=k$ 且 $j=k$ 时,我们有:
$$
\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j) = \frac{\partial}{\partial x_k}(x_k^2) = 2x_k
$$
因此,我们可以将上面的求导结果整理为:
$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(2x_k) = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k
$$
最终,我们得到 $\frac{\partial \alpha}{\partial x_k}$ 的表达式为:$\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k$。