$A={\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}}$是什么意思

$A=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ 表示的是一个由所有形如 $\frac{1}{n}$ 的有理数构成的集合，其中 $n$ 为正整数。

具体来说，$\mathbb{N}$ 表示所有自然数的集合，即 $\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$。因此，$A$ 可以写成：

$$
A=\{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\}
$$

也就是说，$A$ 是一个无限集合，其中的元素是 $\frac{1}{n}$，其中 $n$ 为正整数。

相关问题

将一下代码翻译成符号$\forall$：对于所有的； $\exists$：存在一个； $\in$：属于； $\notin$：不属于； $\cup$：并集； $\cap$：交集； $\mathbb{N}$：自然数集合； $\mathbb{Z}$：整数集合； $\mathbb{Q}$：有理数集合； $\mathbb{R}$：实数集合； $\mathbb{C}$：复数集合； $\lim$：极限； $\rightarrow$：趋于； $=$：等于； $\neq$：不等于； $\approx$：约等于； $\times$：乘号； $+$：加号； $-$：减号； $\div$：除号； $\frac{a}{b}$：分数线； $\sqrt{x}$：开方符号； $\int$：定积分号； $\sum$：求和号。

$\forall$：对于所有的；
$\exists$：存在一个；
$\in$：属于；
$\notin$：不属于；
$\cup$：并集；
$\cap$：交集；
$\mathbb{N}$：自然数集合；
$\mathbb{Z}$：整数集合；
$\mathbb{Q}$：有理数集合；
$\mathbb{R}$：实数集合；
$\mathbb{C}$：复数集合；
$\lim$：极限；
$\rightarrow$：趋于；
$=$：等于；
$\neq$：不等于；
$\approx$：约等于；
$\times$：乘号；
$+$：加号；
$-$：减号；
$\div$：除号；
$\frac{a}{b}$：分数线；
$\sqrt{x}$：开方符号；
$\int$：定积分号；
$\sum$：求和号。

假设 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$, 且 $\alpha=\x^\top\A\x$, 试求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$

根据给定的条件，我们有 $\alpha = \x^\top\A\x$，其中 $\A\in \mathbb{R}^{n×n}$ 是一个实数矩阵，$\x$ 是一个 $n$ 维列向量。

我们可以对 $\alpha$ 求偏导数，即求 $\frac{\partial \alpha}{\partial \x}$。

首先，将 $\alpha$ 展开：

$$
\alpha = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j
$$

接下来，我们对 $\alpha$ 分别对 $x_k$ 求偏导数，其中 $k=1,2,...,n$。注意到在求导过程中，我们只需要关注与 $x_k$ 有关的项。

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\left(\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}x_i x_j\right)
$$

由于在求导时，只有与 $x_k$ 有关的项才会对求导结果产生影响，所以我们可以把与 $x_k$ 无关的项移出求导符号：

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j)
$$

接下来，我们对 $x_i x_j$ 求偏导数。注意到 $x_i x_j$ 是两个变量的乘积，所以我们需要使用乘法法则来求导。

当 $i=k$ 且 $j\neq k$ 时，$x_i$ 是常数，$x_j$ 对 $x_k$ 求导结果为 $0$；同理，当 $i\neq k$ 且 $j=k$ 时，$x_i$ 对 $x_k$ 的求导结果也是 $0$。

当 $i=k$ 且 $j=k$ 时，我们有：

$$
\frac{\partial}{\partial x_k}(x_i x_j) = \frac{\partial}{\partial x_k}(x_k^2) = 2x_k
$$

因此，我们可以将上面的求导结果整理为：

$$
\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{ij}(2x_k) = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k
$$

最终，我们得到 $\frac{\partial \alpha}{\partial x_k}$ 的表达式为：$\frac{\partial \alpha}{\partial x_k} = 2\sum_{i=1}^{n} A_{ik}x_k$。