$d(x,z) \leq d(x,y)什么意思

$d(x,z) \leq d(x,y)$ 表示点 $x$ 到点 $z$ 的距离小于等于点 $x$ 到点 $y$ 的距离。这是由于欧几里得距离满足三角不等式，即对于任意的 $x,y,z \in \mathbb{R}^n$，有 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$。因此，当 $y$ 是 $x$ 到 $z$ 的最短路径上的一个点时，即 $d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)$ 时，等式成立；否则，当 $y$ 不在最短路径上时，$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 仍然成立，但是不等式变成了严格不等式。因此，$d(x,z) \leq d(x,y)$ 是三角不等式的一个特例，在一些证明中经常会用到。

相关问题

为什么$$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$ 因此，我们证明了： $$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这个结论是由三角不等式推导出来的。根据三角不等式，我们有：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

对于任意的 $z \in X$ 都成立。因此，我们可以找到 $z^*$，使得：

$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

即 $d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的一个上界。因此，我们有：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

注意到 $z^*$ 是任意的，因此上式对于任意的 $z^*$ 都成立。因此，我们可以取 $z^*$ 使得 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 最小，即：

$$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$

这就证明了 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$，同时也说明了为什么 $d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$。

解释一下由于 $\epsilon$ 是任意的正数，所以： $$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$ 因此，我们证明了： $$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

在证明中，我们首先证明了：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y) + \epsilon$$

其中 $\epsilon$ 是任意的正数。这个不等式的意义是，对于任意的 $\epsilon$，都存在 $z \in X$，使得 $d(x,z) + d(z,y) \leq d(x,y) + \epsilon$。因此，$d(x,z) + d(z,y)$ 是 $d(x,y)$ 的一个下界。

接着，我们不妨设 $\epsilon = \frac{1}{n}$，其中 $n$ 是任意的正整数。由于 $\epsilon$ 是任意的正数，所以对于任意的 $n$，都存在 $z_n \in X$，使得：

$$d(x,z_n) + d(z_n,y) \leq d(x,y) + \frac{1}{n}$$

注意到 $n$ 是任意的正整数，所以当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$。因此，我们有：

$$\lim_{n \to \infty}(d(x,z_n) + d(z_n,y)) \leq d(x,y)$$

又因为 $\lim_{n \to \infty}d(x,z_n) = \inf_{z \in X}d(x,z)$，$\lim_{n \to \infty}d(z_n,y) = \inf_{z \in X}d(z,y)$，所以：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这就是我们要证明的不等式。因此，由于 $\epsilon$ 可以任意小，当 $\epsilon$ 取 $0$ 时，上述推导仍然成立。