为什么$d(x,y)$ 是 $d(x,z^) + d(z^,y)$ 的下界,同时也是 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$ 的上界。
时间: 2024-04-22 10:28:59 浏览: 7
非常抱歉,我的前两个回答都有误。正确的证明应该是:
首先,由三角不等式,我们有:
$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$
对于任意的 $z \in X$ 都成立。因此,我们可以找到 $z^*$,使得:
$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$
即 $d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的一个上界。因此,我们有:
$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$
又因为 $d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$,所以:
$$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$
因此,$d(x,y)$ 是 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$ 的上界。
另一方面,对于任意的 $z \in X$,我们有:
$$d(x,z) + d(z,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$
因此,$d(x,z) + d(z,y)$ 是 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$ 的一个下界。因此,我们有:
$$d(x,y) \geq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$
因此,$d(x,y)$ 是 $d(x,z) + d(z,y)$ 的下界,同时也是 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$ 的上界。
感谢您的耐心提问,希望我的回答能够解决您的疑惑。