\begin{aligned} |f(x)-f(y)|&=|(\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z))-(\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z))|\ &\leq \inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z)-2\inf_{z\in S}d(x,y)\ &\leq d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y)\ &=|d(x,y)-d(y,x)|\ &\leq d(x,y), \end{aligned}的意思

这个式子是在证明 $f(x)$ 是一个 Lipschitz 连续函数时使用的。具体来说，它表示了当 $x$ 和 $y$ 变化时，$f(x)$ 和 $f(y)$ 之间的差距不会太大，而且差距的上限是 $d(x,y)$。下面逐步解释每一步的含义：

- 第一个等式：根据 $f(x)$ 的定义，$|f(x)-f(y)|$ 可以表示为 $x$ 到集合 $S$ 中除了自身以外的所有元素的距离的下确界与 $y$ 到集合 $S$ 中除了自身以外的所有元素的距离的下确界之间的距离差。因此，$|f(x)-f(y)|$ 可以表示为两个下确界之间的差值。
- 第二个不等式：根据三角不等式，$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 和 $d(y,z) \leq d(y,x) + d(x,z)$，所以 $\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z) \leq d(x,y)+d(y,x)+2\inf_{z\in S}d(x,z)$。因为 $\inf_{z\in S}d(x,z) \leq d(x,y)$，所以我们可以得到 $\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z) \leq d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y)$。
- 第三个不等式：根据 $d(x,y) \geq 0$，我们可以得到 $d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y) \leq d(x,y)$。
- 第四个等式：因为 $d(x,y) = d(y,x)$，所以 $|d(x,y)-d(y,x)| = 0$，即 $|d(x,y)-d(y,x)| = d(y,x)-d(x,y)$。
- 最后一个不等式：根据距离的非负性，我们可以得到 $d(y,x)-d(x,y) \leq |d(x,y)-d(y,x)|$。

综合以上步骤，我们可以得到 $|f(x)-f(y)| \leq d(x,y)$，这说明 $f(x)$ 是一个 Lipschitz 连续函数，且 Lipschitz 常数为 $1$。