$$ \begin{aligned} 2E &\geq 3F \ &= 3(2-V+E) \ &= 6-3V+3E \ \Rightarrow E &= 2V-2 \end{aligned} $$什么意思

时间: 2023-11-29 08:25:43 浏览: 155
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cs229-cvxopt2.pdf

这是关于图论中欧拉公式的推导过程。欧拉公式表明，对于一个连通的平面图（在平面上可以画出且边不相交），其顶点数 $V$、边数 $E$ 和面数 $F$ 满足 $V-E+F=2$。 上述推导过程从 $2E \geq 3F$ 开始，这是因为每个面至少有三条边，所以 $3F$ 表示所有面的边数之和。然后等号右边使用了欧拉公式，即 $3(2-V+E)$ 表示 $3$ 乘以所有面的边数之和。最后推导出 $E=2V-2$，这是将欧拉公式中的 $F=V-E+2$ 带入到 $2E \geq 3F$ 中得到的。 这个结果告诉我们，如果一个连通的平面图满足 $V$ 个顶点和 $E$ 条边，那么它的面数 $F$ 就可以由 $V$ 和 $E$ 计算出来，即 $F=2V-E+2$。
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多旋翼飞行器设计与控制理论 -第10讲_稳定性和可控性V2.pdf

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$$ \begin{aligned} y &= z_{i} \ \lambda_{i} &\geq 0 \ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} &= 1 \end{aligned} $$该段式子如何理解

这个式子描述了一个线性组合的形式，其中 $y$ 是一个向量，$z_i$ 也是向量，$\lambda_i$ 是标量。这个式子的含义是，通过对向量 $z_i$ 进行加权线性组合，得到向量 $y$。每个向量 $z_i$ 与其对应的权重 $\lambda_i$ ...

解释一下：对于一个具有五种变量的供应链问题，可以考虑以下变分不等式问题： 找到一个非负向量 $x \in \mathbb{R}^5$，使得满足以下不等式条件： $$\begin{aligned} &x_1 - 0.9\min{x_1,x_3} - 0.5x_4 \geq 50 \ &x_2 - 0.8\min{x_2,x_5} - 0.2x_3 \geq 40 \ &x_3 - 0.7\min{x_3,x_5} - 0.3x_1 - 0.4x_4 \geq 60 \ &x_4 - 0.6\min{x_2,x_4} - 0.8x_5 \geq 30 \ &x_5 - 0.5\min{x_1,x_2,x_3} - 0.9x_4 \geq 70 \ \end{aligned}$$ 这个问题可以转化为求解如下的投影收缩问题： 找到一个非负向量 $x \in \mathbb{R}^5$，使得满足以下两个条件： $x$ 满足变分不等式条件。 $x$ 是以下闭凸集合的投影：$$C = {x \in \mathbb{R}^5: x_i \geq 0, \sum_{i=1}^5 x_i = 200}$$

找到一个非负向量 $x \in \mathbb{R}^5$，使得对于所有满足 $y \geq 0$ 的向量 $y \in \mathbb{R}^5$，都有以下不等式成立： $$ x^\top y \leq b $$ 其中，$b$ 是一个给定的实数。 这个不等式的意义是，我们要...

针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & x^{T}Qx \ \text{s.t.} & Ax-b>=0 & Cx-d=0 \end{aligned} $$，写出其KKT条件

针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\ \text{s.t.} & Ax \geq b \end{aligned} $$ 其中 $Q$ 是一个对称矩阵，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维向量，$c...

用matlab求解模型 $$\begin{aligned} \min Z &= \sum\limits_{i=1}^n (10h_i+10)\\ \text{s.t. } &(x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2 \geq (2r+d)^2,\\ &x_i \pm f_i \leq \frac{L}{2}, y_i\pm f_i \leq \frac{L}{2}, i=1,2,\cdots,n\\ &h_1=h_2=\cdots=h_n,\\ &n\in \mathbb{Z}^+ \end{aligned}$$ 其中 $\mathbb{Z}^+$ 表示正整数集合。 。

f = 1; % 偏移量 % 构造距离矩阵 dist = zeros(n); for i = 1:n for j = 1:n dist(i,j) = (i-j)^2 + (i-j)^2; end end % 定义 MILP 模型 model.sense = 1; % 最小化 model.obj = [repmat(10,n,1); 0]; % 目标...

用python求解$$\begin{aligned} \max \quad & \sum_{i=1}^n 1 \ \text{s.t.} \quad & \pi r_i^2 + 10 \leq 500^2,\ i=1,\ldots,n \ & x_i - r_i \geq 0,\ x_i + r_i \leq 500,\ y_i - r_i \geq 0,\ y_i + r_i \leq 500,\ i=1,\ldots,n \ & \sqrt{(x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2} \geq 5,\ \forall i \neq j,\ i,j=1,\ldots,n \ & |h_i - h_j| \leq 1,\ \forall i \neq j,\ i,j=1,\ldots,n \ & c_i = 10h_i + 10,\ i=1,\ldots,n \ & n \in \mathbb{N}_+ \end{aligned}$$。

prob += (pi*10**2 + 10) <= (500**2 - x[i]**2 - y[i]**2) prob += (x[i]-10) >= 0 prob += (x[i]+10) <= 500 prob += (y[i]-10) >= 0 prob += (y[i]+10) <= 500 # 求解问题 prob.solve() # 输出结果 print...

将以下语句翻译成LINGO：$$\begin{aligned} \min\quad&\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^4c_{ij}x_{ij}\ \text{s.t.}\quad&x_{11}+x_{12}+x_{13}+x_{14}\leq 7\&x_{21}+x_{22}+x_{23}+x_{24}\leq 8\&x_{31}+x_{32}+x_{33}+x_{34}\leq 5\&x_{11}+x_{21}+x_{31}\geq 18\&x_{12}+x_{22}+x_{32}\geq 20\&x_{13}+x_{23}+x_{33}\geq 12\&x_{14}+x_{24}+x_{34}\geq 30\&x_{ij}\leq 5\quad(i=1,2,3;\ j=1,2,3,4)\&x_{ij}\geq 0,\ x_{ij}\in\mathbb{Z}\quad(i=1,2,3;\ j=1,2,3,4)\ \end{aligned}$$

x(1,3) + x(2,3) + x(3,3) >= 12 x(1,4) + x(2,4) + x(3,4) >= 30 b(1) = 7 b(2) = 8 b(3) = 5 其中，c(i,j) 表示第 i 个供应地和第 j 个需求地之间的运输成本，x(i,j) 表示从第 i 个供应地到第 j...

用matlab 求解$$ \begin{aligned} \max & \sum_{i=1}^{n} h_i - 10h_i - 10 \\ s.t. & \sum_{i=1}^{n} \sum_{(x,y)\in G_{i}} 1 \leq 1, \forall (x,y) \in G \\ & 0 \leq x_i \leq M, 0 \leq y_i \leq M, \forall i = 1,2,\cdots,n \\ & h_i \in [1, 10], \forall i = 1,2,\cdots,n \\ & r_i = \text{corresponding radius according to table 1}\\ & \sum_{(x,y)\in G_i\cap G_j} 1=0, \forall (i,j) \in \mathbb{C}^{2}_{n} \\ & x_j - x_i)^2 + (y_j - y_i)^2 \geq (r_i + r_j + 5)^2, \forall (i,j) \in \mathbb{C}^{2}_{n}, r_i \neq 0, r_j \neq 0 \\ & G_i = \{(x,y) \in G: (x_i - x)^2 + (y_i - y)^2 \leq r_{i}^{2}\} \\ & C_{i} = 10h_i + 10 \\ \end{aligned} $$

(x(i, 1) - x(j, 1))^2 + (x(i, 2) - x(j, 2))^2 - (r(i) + r(j) + 5)^2 >= 0; sum(G(i, :).*G(j, :)' .* (x(i, 1) - x(j, 1)).^2 + (x(i, 2) - x(j, 2)).^2) == 0]; % 定义问题 problem = optimproblem('...

$$ \begin{aligned} min \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\ s.t. \quad &y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)\ \quad &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)\ &y_i(t)\ge 0\ &y_i(0)=0\ &i=1,2,...,n\ &j=1,2,...,n\ \end{aligned} $$将这个用latex编写的整数规划模型写成基于wasserstein distance分布式鲁棒优化模型，其中需求$z_i(t)$为不确定的

$$ \begin{aligned} \text{minimize} \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\\ \text{subject to} \quad & y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}...

详细解释这段代码：function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k) % %% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;

$$\begin{aligned} &\min_{x\in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|x-v\|^2 \\ &\text{s.t. } x\geq 0,\quad \mathbf{1}^\top x=k \end{aligned}$$ 其中，$v\in \mathbb{R}^n$ 为给定向量，$k\in \mathbb{R}$ 为常数，$\...

求min f(x)=-2x1-x2,条件是g1(x)=25-(x1)^2-(x2)^2≥0，g2(x)=7-(x1)^2+(x2)^2≥0，0≤x1≤5，0≤x2≤10 用matlab求解，并展示答案

对于本题，目标函数为 $f(x)=-2x_1-x_2$，约束条件函数为 $g_1(x)=25-x_1^2-x_2^2$ 和 $g_2(x)=7-x_1^2+x_2^2$。 matlab function [f, g] = myfun(x) f = -2*x(1)-x(2); g(1) = 25 - x(1)^2 - x(2)^2; g(2) = 7 ...

\begin{aligned} |f(x)-f(y)|&=|(\inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z))-(\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z))|\ &\leq \inf_{z\in S,z\neq x}d(x,z)+\inf_{z\in S,z\neq y}d(y,z)-2\inf_{z\in S}d(x,y)\ &\leq d(x,y)+d(y,x)-2d(x,y)\ &=|d(x,y)-d(y,x)|\ &\leq d(x,y), \end{aligned}的意思

这个式子是在证明 $f(x)$ 是一个 Lipschitz 连续函数时使用的。具体来说，它表示了当 $x$ 和 $y$ 变化时，$f(x)$ 和 $f(y)$ 之间的差距不会太大，而且差距的上限是 $d(x,y)$。下面逐步解释每一步的含义： - 第一个...

使用 Chebyshev 定理 3.7 求 f(x)=5x^3-x^2+x-1 在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式

对于 $k \geq 3$，$T_k(x)$ 是奇函数，因此 $\int_{-1}^{1} f(x) T_k(x) dx = 0$。 现在我们来计算 $a_0, a_1, a_2$ 的值。首先计算 $a_0$： $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{5x^3-x^2+x-1}{\sqrt{1-x...

某工厂有两个工人和三种机器，机器 1、2、3 的每小时生产能力分别为 $x_1=1$、$x_2=2$、$x_3=3$。工人 1 和工人 2 的每小时工作时间分别为 $y_1=8$ 和 $y_2=10$。每台机器每小时的使用成本分别为 $c_1=1$、$c_2=2$、$c_3=3$。现在要制定生产计划，使得生产总成本最小化，同时满足工人的工作时间限制和机器的生产能力限制。用线性规划来求解。这个问题

x_1, x_2, x_3 &\geq 0 \end{aligned}$$ 第一个限制条件表示机器的生产能力不能超过工人的工作时间，第二个限制条件表示机器 1 只能由工人 1 使用，第三个限制条件表示机器的总使用时间不能超过工人 2 的工作时间。...

用BFGS算法或者SLSQP算法, 设f(x)=x^2+10x+16, 求在限制条件x+3≥0下 f(x) 的最小值。

我们先求出$f(x)$的一阶和二阶导数： $$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 + 10x + 16 \\ f'(x) &= 2x + 10 \\ f''(x) &= 2 ...由此可得，在$x\geq 3$的限制条件下，$f(x)$的最小值为10，当$x=-5$时取得最小值。

SVM 课后作业~ 设训练样本共3个：{(x}=[0,11"，}y}=-1),(x^{2=[1,0]T,}{2=-1),(x3= [1.1].y,=1)}。使用线性 SVM 模型优化收敛后结果如图所示。 Y值 12 .. 0.6 0.8 1)>试写出上述问题的线性 SVM 原始优化问题的数学形式； 2)>试写出该问题的拉格朗日对偶问题的数学形式； 3）>试写出该问题的所有 KKT 条件；《 4)>根据红线所示的SVM分类器决策面试推算乘子ai,i=12.3的数值。“

\begin{aligned} \min_{w,b,\xi} \quad & \frac{1}{2}\|w\|^2 + C\sum_{i=1}^{m}\xi_i \\ s.t. \quad & y_i(w^Tx_i+b) \geq 1 - \xi_i, \quad i=1,\dots,m \\ & \xi_i \geq 0, \quad i=1,\dots,m \end{aligned} $$ ...

1-cosx == x2/2

}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-2}}{(2n)!}$$ 由于当 $n \geq 2$ 时，$(-1)^{n-1} $，因此可以将上式拆分为两个极限： $$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{n=1}...

考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

L(x,y,\lambda,\mu) = (x-1)^2 + y - 2 + \lambda(y-x-1) + \mu(x+y-2) $$ 其中，$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。接下来，我们可以写出 KKT 条件： 1. 平稳性条件： $$ \begin{aligned} \nabla_x L(x^*,y^*,...

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