针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & x^{T}Qx \ \text{s.t.} & Ax-b>=0 & Cx-d=0 \end{aligned} $$,写出其KKT条件
时间: 2024-05-20 08:12:51 浏览: 68
抱歉,我的回答似乎被截断了。让我重新回答你的问题:
针对二次规划问题$$ \begin{aligned} \min_{x} & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\ \text{s.t.} & Ax \geq b \end{aligned} $$
其中 $Q$ 是一个对称矩阵,$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵,$b$ 是一个 $m$ 维向量,$c$ 是一个 $n$ 维向量。这里我们假设 $Q$ 是正定的。
求解二次规划问题的一种常用方法是使用内点法。内点法的基本思想是将约束条件转化为等式约束,然后将目标函数转化为一个等价的函数,使得它是在约束区域之内的。然后,通过不断地向约束区域的内部靠近,来求解最优解。
内点法的具体实现方式有很多种,其中比较常用的是预测-校正方法。该方法分为两个步骤,预测步骤和校正步骤。预测步骤是在当前可行点的邻域内预测下一个可行点,并将其作为下一步的起点。校正步骤是通过求解一个线性方程组来计算下一个可行点,并将其作为新的可行点。重复进行这两个步骤,直到找到最优解。
内点法的优点是可以处理大规模的二次规划问题,但是它的缺点是需要对目标函数进行变换,而且计算量较大。同时,内点法也有一些变种方法,如基于路径跟踪的内点法等,可以根据具体情况选择合适的方法。
相关问题
求$ \min_x (x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $的Hesse矩阵
首先,计算一阶偏导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_1}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] &= 2(x_1-1) + 8x_1(x_1^2 - x_2) \\
\frac{\partial}{\partial x_2}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] &= -8(x_1^2 - x_2)
\end{aligned}
$$
然后,计算二阶偏导数:
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] = 2 + 8(3x_1^2 - x_2) \\
&\frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] = -16x_1 \\
&\frac{\partial^2}{\partial x_2\partial x_1}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] = -16x_1 \\
&\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}[(x_1 - 1)^2 + 2(x_1^2-x_2)^2] = 32
\end{aligned}
$$
因此,该函数的 Hesse 矩阵为:
$$
H = \begin{bmatrix}
2+8(3x_1^2-x_2) & -16x_1 \\
-16x_1 & 32
\end{bmatrix}
$$
请用BFGS方法求解$ \min_x (x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $,其中取初始点为$ x_0 = (0,0)^T $,初始矩阵取单位矩阵,求第三个迭代点。
BFGS算法是一种拟牛顿算法,用于求解无约束问题的最优化算法。下面是该算法的迭代步骤:
1. 初始化。取初始点 $x_0$,初始矩阵 $B_0$ 为单位矩阵,迭代次数 $k=0$。
2. 计算搜索方向 $p_k=-B_k\nabla f(x_k)$,其中 $f(x)$ 是目标函数,$\nabla f(x_k)$ 是在点 $x_k$ 处的梯度。
3. 对于给定的搜索方向 $p_k$,计算步长 $\alpha_k$,满足 $f(x_k+\alpha_kp_k)=\min_{\alpha>0}f(x_k+\alpha p_k)$。
4. 更新 $x_{k+1}=x_k+\alpha_kp_k$。
5. 计算 $s_k=x_{k+1}-x_k$ 和 $y_k=\nabla f(x_{k+1})-\nabla f(x_k)$。
6. 更新矩阵 $B_{k+1}$,满足 $B_{k+1}s_k=y_k$ 和 $s_k^TB_{k+1}s_k=s_k^Ty_k$。
7. 如果满足停止迭代的条件,则输出结果;否则,将 $k$ 增加 $1$,返回步骤 $2$。
根据上述算法,可以得到第三个迭代点的计算步骤如下:
1. 初始化。取初始点 $x_0=(0,0)^T$,初始矩阵 $B_0$ 为单位矩阵,迭代次数 $k=0$。
2. 计算梯度 $\nabla f(x_0)=[2(x_0(1)-2)+8x_0(1)^3-8x_0(1)x_0(2),-4x_0(1)^2+4x_0(2)]^T=[-2,0]^T$。
3. 计算搜索方向 $p_0=-B_0\nabla f(x_0)=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}[-2,0]^T=[-2,0]^T$。
4. 对于给定的搜索方向 $p_0$,计算步长 $\alpha_0$,满足 $f(x_0+\alpha_0p_0)=\min_{\alpha>0}f(x_0+\alpha p_0)$。目标函数可以表示为 $f(x)=(x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2$,因此有:
$$
\begin{aligned}
f(x_0+\alpha_0p_0)&=f\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}+\alpha_0\nabla f(x_0)^Tp_0+\frac{1}{2}\alpha_0^2p_0^TB_0p_0\\
&=(0-2\alpha_0)^2+2[(2\alpha_0^2-0)^2-(0-0)^2]\\
&=4\alpha_0^4-4\alpha_0^3-8\alpha_0^2+8\alpha_0+4
\end{aligned}
$$
对上式求导,令导数等于 $0$,可以得到:
$$
\alpha_0=\frac{1}{2}
$$
5. 更新 $x_1=x_0+\alpha_0p_0=[-1,0]^T$。
6. 计算 $s_0=x_1-x_0=[-1,0]^T$ 和 $y_0=\nabla f(x_1)-\nabla f(x_0)=[2(x_1(1)-2)+8x_1(1)^3-8x_1(1)x_1(2),-4x_1(1)^2+4x_1(2)]^T=[2,-4]^T$。
7. 更新矩阵 $B_1$,满足 $B_1s_0=y_0$ 和 $s_0^TB_1s_0=s_0^Ty_0$。由于初始矩阵 $B_0$ 为单位矩阵,因此有:
$$
B_1=B_0+\frac{y_0y_0^T}{y_0^Ts_0}-\frac{B_0s_0s_0^TB_0}{s_0^TB_0s_0}=\begin{bmatrix}2&-4\\-4&8\end{bmatrix}
$$
8. 如果满足停止迭代的条件,则输出结果;否则,将 $k$ 增加 $1$,返回步骤 $2$。