$$ \begin{aligned} min \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\ s.t. \quad &y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)\ \quad &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)\ &y_i(t)\ge 0\ &y_i(0)=0\ &i=1,2,...,n\ &j=1,2,...,n\ \end{aligned} $$将这个用latex编写的整数规划模型写成分布式鲁棒优化模型，其中需求$z_i(t)$为不确定的

为了将整数规划模型转化为分布式鲁棒优化模型，我们需要引入一些变量和约束条件。具体来说，我们引入以下变量：

- $x_i(t), y_i(t)$：整数规划模型中的变量。
- $w_{ij}(t), v_{ij}(t), u_i(t)$：新引入的变量，用于表示约束条件中的不等式和等式。
- $\Delta_i(t)$：表示需求$z_i(t)$的不确定性，可看作是一个随机变量。

引入这些变量后，我们可以将整数规划模型转化为以下的分布式鲁棒优化模型：

$$ \begin{aligned} \text{minimize} \quad&\sum_{t=1}^{T}\sum_{i=1}^{n}\lbrace C_ix_i(t) + h_iy_i(t) +\sum_{j=1}^ns_{ij}w_{ij}(t) \rbrace\\ \text{subject to} \quad & y_i(t-1)+x_i(t)-\sum_{j=1}^{n}w_{ij}(t)=y_i(t)+v_{ij}(t)\quad\forall i, t\\ &\sum_{j=1}^{n}w_{ji}(t)=z_i(t)+u_i(t)\quad\forall i, t\\ &y_i(t)\ge 0,\ w_{ij}(t)\ge 0,\ v_{ij}(t)\ge 0,\ u_i(t)\ge 0\quad\forall i, j, t\\ &y_i(0)=0\quad\forall i\\ & \sum_{t=1}^{T} \Delta_i(t)u_i(t) \leq \bar{\Delta}_i\quad\forall i\\ & \Delta_i(t) \in \mathcal{D}_i\quad\forall i, t \end{aligned} $$

其中，$\bar{\Delta}_i$表示需求$z_i(t)$的不确定性上限，$\mathcal{D}_i$表示需求$z_i(t)$的不确定性集合。这个分布式鲁棒优化模型可以保证在不确定需求的情况下，系统仍能够稳定运行，且保证了解的鲁棒性。