$$\begin{aligned}\mathcal{L}(i(t)) &=\int_0^\infty e^{-st}i(t)dt\ &=\int_0^\infty e^{-st}I\times e^{-t/\tau}dt\ &=I\int_0^\infty e^{-t(s+1/\tau)}dt\ &=I\times \left[-\frac{1}{(s+1/\tau)}e^{-t(s+1/\tau)}\right]_0^\infty\ &=I\times\frac{1}{s+1/\tau}\ &=\frac{I\tau}{1+s\tau}\end{aligned}$$

这是一个关于电路中电流响应的数学公式推导，其中 $i(t)$ 表示电流随时间变化的函数，$I$ 表示电路中的电源电流，$\tau$ 表示电路中的时间常数，$s$ 是拉普拉斯变换中的复数变量。

公式中的 $\mathcal{L}(i(t))$ 表示拉普拉斯变换后的电流响应函数，通过对 $i(t)$ 进行拉普拉斯变换得到。

推导的过程中，首先将 $i(t)$ 表示为电源电流 $I$ 与指数衰减函数 $e^{-t/\tau}$ 的乘积形式，然后利用拉普拉斯变换的线性性质将 $e^{-t/\tau}$ 提取出来。

接着，将拉普拉斯变换的定义式代入，将 $e^{-t(s+1/\tau)}$ 的积分拆开，得到最终的结果 $\frac{I\tau}{1+s\tau}$，表示电路中的电流响应函数。

相关问题

用MATLAB求信号x（t）=（e^（-2t））sin（t）ε（t）的拉普拉斯变换

信号 $x(t) = e^{-2t} \sin(t) \epsilon(t)$ 是一个实数信号，其中 $\epsilon(t)$ 是单位阶跃函数。

其中，$\epsilon(t)$ 的拉普拉斯变换为 $\mathcal{L}[\epsilon(t)] = \frac{1}{s}$。

因此，首先需要对 $x(t)$ 进行处理，即：

$$
\begin{aligned}
x(t) &= e^{-2t} \sin(t) \epsilon(t) \\
&= e^{-2t} \sin(t) \cdot 1 \\
&= e^{-2t} \sin(t)
\end{aligned}
$$

然后，使用拉普拉斯变换的定义，有：

$$
\begin{aligned}
X(s) &= \mathcal{L}[x(t)] \\
&= \int_0^\infty e^{-st} e^{-2t} \sin(t) dt \\
&= \int_0^\infty e^{-(s+2)t} \sin(t) dt \\
\end{aligned}
$$

这是一个常见的形式，可以通过查表或使用积分技巧求解，最终可以得到：

$$
\begin{aligned}
X(s) &= \frac{1}{(s+2)^2 + 1}
\end{aligned}
$$

因此，信号 $x(t)$ 的拉普拉斯变换为 $\mathcal{L}[x(t)] = \frac{1}{(s+2)^2 + 1}$。

求函数f（t/a）*e^（-t/a）的拉普拉斯变换

根据拉普拉斯变换的定义，对于一个函数 $f(t)$，它的拉普拉斯变换为：

$$
F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt
$$

现在我们来求函数 $f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}$ 的拉普拉斯变换。代入上式中，得到：

$$
\begin{aligned}
F(s) &= \mathcal{L}\left\{f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}\right\} \\
&= \int_0^{\infty} e^{-st} f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}} dt \\
&= \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)t} f\left(\frac{t}{a}\right) dt \\
&= \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)ax} f(x) a dx \\
&= a \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)ax} f(x) dx \\
&= a \mathcal{L}\{f(x)\}(s+\frac{1}{a})
\end{aligned}
$$

因此，函数 $f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}$ 的拉普拉斯变换为 $a \mathcal{L}\{f(x)\}(s+\frac{1}{a})$。