求拉式变换e^at *sint

根据拉普拉斯变换的定义，对于任意函数 $f(t)$，其拉普拉斯变换为：

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$

因此，对于 $e^{at}\sin t$，其拉普拉斯变换为：

$$\begin{aligned} \mathcal{L}\{e^{at}\sin t\} &= \int_0^\infty e^{-st} e^{at}\sin t dt \\ &= \int_0^\infty e^{-(s-a)t} \sin t dt \end{aligned}$$

我们可以采用积分部分法来求解这个积分。设 $u = \sin t$，$dv = e^{-(s-a)t} dt$，则有：

$$\begin{aligned} \int_0^\infty e^{-(s-a)t} \sin t dt &= -\cos t e^{-(s-a)t}\Big|_0^\infty + \int_0^\infty \cos t(s-a)e^{-(s-a)t} dt \\ &= \frac{s-a}{s^2 + 1} \end{aligned}$$

因此，拉普拉斯变换为：

$$\mathcal{L}\{e^{at}\sin t\} = \frac{s-a}{s^2 + 1}$$