matlab求(sin(pi*t)/(pi*t))^2的傅里叶变换

根据傅里叶变换的定义：$\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}dt$，以及Dirichlet条件的要求，我们可以进行如下计算：

$$\begin{aligned} \mathcal{F}\{(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2\}(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty} (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega^\prime t}\mathrm{rect}(\frac{t}{2T}) \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega^{\prime\prime} t}\mathrm{rect}(\frac{t}{2T})e^{-j\omega t} dt d\omega^\prime d\omega^{\prime\prime} \\ &=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{rect}(\frac{t}{2T})e^{j(\omega^\prime-\omega^{\prime\prime}-\omega)t}dtd\omega^\prime d\omega^{\prime\prime}\end{aligned}$$

因为矩形函数是偶函数，所以$\mathrm{rect}(\frac{t}{2T})$和$\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi T})$是成对的能量互换的信号。所以可以认为$\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi T})$实际上是单位冲激序列，所以上述积分中的$\mathrm{rect}(\frac{t}{2T})$可以直接改为$\delta(t)$，即：

$$\begin{aligned} \mathcal{F}\{(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2\}(\omega)&=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{j(\omega^\prime-\omega^{\prime\prime}-\omega)t}dtd\omega^\prime d\omega^{\prime\prime}\\ &=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega^\prime-\omega^{\prime\prime}-\omega)d\omega^\prime d\omega^{\prime\prime}\\ &=\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega^{\prime})d\omega^{\prime}\\ &=\frac{1}{4\pi^2}\end{aligned}$$

所以答案为$\frac{1}{4\pi^2}$。