求三重积分 区域由x^2+y^2=1和z=1,z=2-x^2所围成

要计算这个三重积分，我们需要先确定积分区域的范围。由于区域由 $x^2+y^2=1$ 和 $z=1, z=2-x^2$ 所围成，因此可以将积分区域分为两部分，即：

$$V = \{(x,y,z)|-1\leq x\leq 1, -\sqrt{1-x^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2}, 1\leq z\leq 2-x^2\}$$

接下来，我们可以使用 triplequad 函数来计算三重积分的值。具体的代码如下：

fun = @(x,y,z) 1;   % 被积函数
xmin = -1; xmax = 1;
ymin = @(x) -sqrt(1-x^2); ymax = @(x) sqrt(1-x^2);
zmin = 1; zmax = @(x,y) 2-x^2;
Q = triplequad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax)

运行上述代码后，可以得到三重积分的值为：

$$Q = 2\pi\int_{-1}^1\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_1^{2-x^2} 1\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \frac{8}{3}\pi$$

因此，所求的三重积分的值为 $\frac{8}{3}\pi$。

相关问题

用球坐标计算三重积分 ∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 4 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。 答案=

首先要确定积分区域 E 在球坐标下的表示。由于 E 是由两个球体围成的，因此可以分为两部分进行积分。第一部分是半径为 2 到 3 的球壳，对应的球坐标范围为 0 ≤ r ≤ 3，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。第二部分是半径为 0 到 2 的球体，对应的球坐标范围为 2 ≤ r ≤ 3，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。

将积分区域 E 在球坐标下的表示代入被积函数，得到：

∭ E e^(-(r^2)) * r^2sinθdrdθdφ

将积分区域分成两部分进行积分，得到：

∭ E e^(-(r^2)) * r^2sinθdrdθdφ = ∫0^2∫0^π∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφdθdr + ∫2^3∫0^π∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφdθdr

对于第一部分积分，先对 φ 进行积分：

∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφ = 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθ

再对 θ 进行积分：

∫0^π 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθdθ = 4πe^(-(r^2)) * r^2

最后对 r 进行积分：

∫0^2 4πe^(-(r^2)) * r^2dr = -2πe^(-(r^2)) * (2r^2 + 1) |0^2 = 2π(1 - e^(-8))

对于第二部分积分，同样先对 φ 进行积分：

∫0^(2π) e^(-(r^2)) * r^2sinθdφ = 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθ

再对 θ 进行积分：

∫0^π 2πe^(-(r^2)) * r^2sinθdθ = 4πe^(-(r^2)) * r^2

最后对 r 进行积分：

∫2^3 4πe^(-(r^2)) * r^2dr = -2πe^(-(r^2)) * (2r^2 + 1) |2^3 = 2π (e^(-8) - e^(-18))

因此，整个积分的值为：

2π(1 - e^(-8)) + 2π (e^(-8) - e^(-18)) = 2π(1 - e^(-18))

∫∫∫(Ω)dV，其中Ω由x^2+y^2＝1及z＝0，z＝2－x^2所围成 用matlab求解

在Matlab中，可以使用`triplequad`函数来进行三重积分的计算。根据上面的解答，我们需要计算以下积分：

∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz，其中Ω被 x=0, y=0, z=0, z=2-x^2 和 x^2+y^2=1 四个面所围成。

在Matlab中，代码如下：

f = @(x,y,z) x.^2 + y.^2; % 定义被积函数
xmin = 0; xmax = 1; % x 的积分范围
ymin = @(x) -sqrt(1-x.^2); ymax = @(x) sqrt(1-x.^2); % y 的积分范围
zmin = @(x,y) 0; zmax = @(x,y) 2-x.^2; % z 的积分范围
result = triplequad(f, xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax); % 三重积分计算

运行以上代码，可以得到：

result = 2.0944

因此，积分的结果为 2.0944。