Householder 矩阵 Q是什么矩阵
时间: 2024-02-03 10:02:19 浏览: 34
Householder 矩阵 Q 是一个正交矩阵,用来实现 QR 分解。它可以将一个向量通过反射变换映射到另一个向量上,从而实现矩阵的正交化。Householder 矩阵的形式为:
Q = I - 2uu^T
其中,I 是单位矩阵,u 是一个列向量。通过选择合适的 u,可以将矩阵 A 的第 k 列下方的元素全部变成零,从而实现 QR 分解。
Householder 矩阵具有以下性质:
1. 它是一个正交矩阵,即 Q^TQ = QQ^T = I。
2. 它是一个对称矩阵,即 Q = Q^T。
3. 它是一个幂等矩阵,即 Q^2 = I。
4. 它可以用于矩阵的正交变换和向量的反射变换。
通过 Householder 矩阵的反射变换,可以实现矩阵的 QR 分解,从而用于求解线性方程组和最小二乘问题等应用。
相关问题
计算householder矩阵
Householder矩阵是一个反射矩阵,用于线性代数中的一些计算,比如QR分解。计算Householder矩阵的方法有很多种,其中一种是通过Gram-Schmidt正交化过程中的反射操作来计算。具体实现可以参考相关的线性代数教材或者代码库。
用python实现householder矩阵的qr分解
下面是用Python实现Householder矩阵的QR分解的代码:
```python
import numpy as np
def qr_hh(A):
m, n = A.shape
R = A.copy()
Q = np.eye(m)
for j in range(n):
x = R[j:, j]
e = np.zeros_like(x)
e[0] = np.sign(x[0])
u = x + e * np.linalg.norm(x)
u = u / np.linalg.norm(u)
R[j:, j:] = R[j:, j:] - 2 * np.outer(u, u.T @ R[j:, j:])
Q[j:, :] = Q[j:, :] - 2 * np.outer(u, u.T @ Q[j:, :])
return Q, R
```
输入参数A是一个$m \times n$的矩阵,输出结果是QR分解的Q和R矩阵。这里采用了Householder矩阵的方法实现QR分解。
Householder矩阵的QR分解基本思路如下:
1. 对于矩阵$A$的第$j$列,选取一个向量$x$,使得$x$与$A$的第$j$列向量$u$的内积为$||x||$,而$x$与$u$之间的夹角为$90^{\circ}$。
2. 构造Householder矩阵$H_j=I-2uu^T$,其中$u$是单位向量,使得$H_j$将$A$的第$j$列向量变成一个倍长的向量,使得这个向量的第一个元素为$||x||$。
3. 用$H_j$左乘$A$,得到新的矩阵$A^{(1)}$,此时$A^{(1)}$的第$j$列向量已经是一个倍长的向量。
4. 分别对$A^{(1)}$的第$j+1$列到第$n$列,重复上述过程,得到新的矩阵$A^{(2)}$,$A^{(3)}$,$\cdots$,$A^{(n)}$。
5. 最终得到的矩阵$A^{(n)}$就是QR分解的R矩阵,而对之前构造的所有Householder矩阵做一次相似变换,得到QR分解的Q矩阵。
以上就是用Python实现Householder矩阵的QR分解的基本思路和代码实现。