Householder用于矩阵奇异值分解
时间: 2023-11-15 13:05:25 浏览: 39
是的,Householder变换是一种常用的矩阵变换方法,可以用于计算矩阵的奇异值分解。它的基本思想是通过一系列的反射变换将原始矩阵转换为上三角矩阵,从而简化奇异值分解的计算过程。具体来说,Householder变换可以将一个向量映射为另一个向量,从而实现矩阵的对称变换。在奇异值分解中,我们可以利用Householder变换将原始矩阵转换为上三角矩阵,并通过迭代计算得到矩阵的奇异值和奇异向量。Householder变换的优点是计算简单,而且不会引入舍入误差,因此被广泛应用于奇异值分解等计算问题中。
相关问题
用python实现householder矩阵的qr分解
下面是用Python实现Householder矩阵的QR分解的代码:
```python
import numpy as np
def qr_hh(A):
m, n = A.shape
R = A.copy()
Q = np.eye(m)
for j in range(n):
x = R[j:, j]
e = np.zeros_like(x)
e[0] = np.sign(x[0])
u = x + e * np.linalg.norm(x)
u = u / np.linalg.norm(u)
R[j:, j:] = R[j:, j:] - 2 * np.outer(u, u.T @ R[j:, j:])
Q[j:, :] = Q[j:, :] - 2 * np.outer(u, u.T @ Q[j:, :])
return Q, R
```
输入参数A是一个$m \times n$的矩阵,输出结果是QR分解的Q和R矩阵。这里采用了Householder矩阵的方法实现QR分解。
Householder矩阵的QR分解基本思路如下:
1. 对于矩阵$A$的第$j$列,选取一个向量$x$,使得$x$与$A$的第$j$列向量$u$的内积为$||x||$,而$x$与$u$之间的夹角为$90^{\circ}$。
2. 构造Householder矩阵$H_j=I-2uu^T$,其中$u$是单位向量,使得$H_j$将$A$的第$j$列向量变成一个倍长的向量,使得这个向量的第一个元素为$||x||$。
3. 用$H_j$左乘$A$,得到新的矩阵$A^{(1)}$,此时$A^{(1)}$的第$j$列向量已经是一个倍长的向量。
4. 分别对$A^{(1)}$的第$j+1$列到第$n$列,重复上述过程,得到新的矩阵$A^{(2)}$,$A^{(3)}$,$\cdots$,$A^{(n)}$。
5. 最终得到的矩阵$A^{(n)}$就是QR分解的R矩阵,而对之前构造的所有Householder矩阵做一次相似变换,得到QR分解的Q矩阵。
以上就是用Python实现Householder矩阵的QR分解的基本思路和代码实现。
奇异值分解的fortran程序gesvd
奇异值分解是一种矩阵分解的方法,可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积,即$M=U\Sigma V^T$,其中$U$和$V$为正交矩阵,$\Sigma$为对角矩阵,对角线上的元素为奇异值。
gesvd是用Fortran语言实现的奇异值分解程序,主要用于求解大型矩阵的奇异值分解。它可以通过调用LAPACK库实现高效的计算。其中,输入参数为待分解矩阵$M$及其行列数,输出参数为正交矩阵$U$和$V$及对角矩阵$\Sigma$的元素。
该程序采用分治策略进行计算,首先对$M$进行减均值处理,然后通过Householder变换实现QR分解,并利用迭代过程不断优化奇异值的近似值。最终得到分解后的$U,\Sigma$和$V$矩阵,将它们相乘即可得到原矩阵$M$。
gesvd程序具有高效、稳定的特点,可以广泛应用于信号处理、数据降维、推荐系统等领域。