计算householder矩阵
时间: 2023-05-12 09:04:42 浏览: 87
Householder矩阵是一个反射矩阵,用于线性代数中的一些计算,比如QR分解。计算Householder矩阵的方法有很多种,其中一种是通过Gram-Schmidt正交化过程中的反射操作来计算。具体实现可以参考相关的线性代数教材或者代码库。
相关问题
用python实现给定householder矩阵的qr分解
如果已经给定了Householder矩阵,那么我们可以直接用它来进行QR分解。下面是用Python实现给定Householder矩阵的QR分解的代码:
```python
import numpy as np
def qr_given_H(H):
m, n = H.shape
R = H.copy()
Q = np.eye(m)
for j in range(n):
u = R[j:, j]
Qj = np.eye(m)
Qj[j:, j:] = np.eye(m-j) - 2 * np.outer(u, u)
Q = Q @ Qj.T
R = Qj @ R
return Q, R
```
输入参数H是一个$m \times n$的Householder矩阵,输出结果是QR分解的Q和R矩阵。
QR分解的基本思路是,将原矩阵$A$分解成$Q$和$R$两个矩阵的乘积,其中$Q$是一个$m \times m$的正交矩阵,$R$是一个$m \times n$的上三角矩阵。而给定的Householder矩阵$H$实际上就是$Q$的乘积,因此我们可以直接利用它来计算$Q$和$R$。
具体做法是,对于矩阵$H$的第$j$列,取出它的下三角部分作为向量$u$,构造一个$m \times m$的矩阵$Q_j = I - 2uu^T$,使得$Q_j$将$H$的第$j$列向量变成一个倍长的向量,使得这个向量的第一个元素为$||u||$。然后将$Q_j$的转置乘到$Q$的右边,将$Q_j$乘到$R$的左边,得到新的矩阵$Q^{(1)}$和$R^{(1)}$。重复上述过程,对$R^{(1)}$的第$j+1$列到第$n$列,分别构造矩阵$Q_j$,并将$Q_j$的转置乘到$Q^{(1)}$的右边,将$Q_j$乘到$R^{(1)}$的左边,得到新的矩阵$Q^{(2)}$和$R^{(2)}$。重复直到处理完所有的列,最终得到的$Q$矩阵就是$H$的乘积,而$R$矩阵就是$R^{(n-1)}$。
以上就是用Python实现给定Householder矩阵的QR分解的基本思路和代码实现。
Householder用于矩阵奇异值分解
是的,Householder变换是一种常用的矩阵变换方法,可以用于计算矩阵的奇异值分解。它的基本思想是通过一系列的反射变换将原始矩阵转换为上三角矩阵,从而简化奇异值分解的计算过程。具体来说,Householder变换可以将一个向量映射为另一个向量,从而实现矩阵的对称变换。在奇异值分解中,我们可以利用Householder变换将原始矩阵转换为上三角矩阵,并通过迭代计算得到矩阵的奇异值和奇异向量。Householder变换的优点是计算简单,而且不会引入舍入误差,因此被广泛应用于奇异值分解等计算问题中。