householder变换性质
时间: 2023-07-24 12:16:47 浏览: 72
Householder变换是一种线性变换,可以将向量空间中的向量映射到一个经过原点的超平面上。Householder变换的性质有:
1. Householder变换是对称的,即$H^T=H$。
2. Householder变换是正交矩阵,即$H^TH=HH^T=I$。
3. Householder变换将向量映射到超平面上的镜像向量,即$Hx=-x$。
4. Householder变换可以将一个向量变换为另一个向量,即$Hx=y$。
5. Householder变换可以用于QR分解,将矩阵A分解为$QR=HH^TA$,其中Q为正交矩阵,R为上三角矩阵。
6. Householder变换可以用于解线性方程组,通过将增广矩阵的左边部分进行QR分解,可以得到方程组的解。
这些性质使得Householder变换在线性代数和数值计算中有广泛应用。
相关问题
householder变换matlab代码
以下是一个简单的 Householder 变换的 MATLAB 代码实现:
```matlab
function [H, v] = householder(x)
% Householder 变换
% 输入参数:向量 x
% 输出参数:矩阵 H 和向量 v,满足 H = I - 2*v*v',其中 v 是单位向量
% 使得 H*x = [norm(x);0;0;...;0]
n = length(x);
v = x;
v(1) = v(1) + sign(x(1))*norm(x);
v = v / norm(v);
H = eye(n) - 2*v*v';
end
```
此代码实现了将一个向量通过 Householder 变换变成 $[||x||, 0, 0, ..., 0]$ 的过程。其中,输入参数 x 是一个向量,输出参数 H 是一个 Householder 矩阵,v 是一个单位向量。
householder 变换Matlab代码
以下是 Householder 变换的 Matlab 代码:
function [Q, R] = householder(A)
[m, n] = size(A);
Q = eye(m);
for k = 1:n
x = A(k:m, k);
v = x;
v(1) = v(1) + sign(x(1)) * norm(x);
v = v / norm(v);
A(k:m, k:n) = A(k:m, k:n) - 2 * v * (v' * A(k:m, k:n));
Q(k:m, :) = Q(k:m, :) - 2 * v * (v' * Q(k:m, :));
end
R = A;
end
这个函数实现了 Householder 变换在矩阵 A 上的操作,返回矩阵 Q 和 R,使得 Q * R = A,并且 Q 是一个正交矩阵。在 for 循环中,我们每次选择一个列向量 x,然后计算其对应的 Householder 向量 v,将 A 和 Q 对应的部分做 Householder 变换。最终得到的 R 就是上三角矩阵,而 Q 就是 A 的 QR 分解中的正交矩阵。
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