用python实现householder变换qr分解

好的，下面是用Python实现Householder变换QR分解的代码：

import numpy as np

def householder(A):
    m, n = A.shape
    R = A.copy()
    Q = np.eye(m)
    for j in range(n):
        x = R[j:, j]
        e = np.zeros_like(x)
        e[0] = np.sign(x[0])
        u = x + e * np.linalg.norm(x)
        u = u / np.linalg.norm(u)
        R[j:, j:] = R[j:, j:] - 2 * np.outer(u, u.T @ R[j:, j:])
        Q[j:, :] = Q[j:, :] - 2 * np.outer(u, u.T @ Q[j:, :])
    return Q.T, R

其中，输入参数A是一个$m \times n$的矩阵，输出结果是QR分解的Q和R矩阵。这里采用了Householder变换的方法实现QR分解。

Householder变换基本思路如下：

1. 对于矩阵$A$的第$j$列，选取一个向量$x$，使得$x$与$A$的第$j$列向量$u$的内积为$||x||$，而$x$与$u$之间的夹角为$90^{\circ}$。
2. 然后对$A$做一次Householder变换，将$u$变成$x$，将$A$中的第$j$列向量变成一个倍长的向量，使得这个向量的第一个元素为$||x||$。
3. 用这个向量作为Householder矩阵的第$j$列，对$A$做一次相似变换，得到新的矩阵$A^{(1)}$。
4. 重复上述过程，对于第$j+1$列到第$n$列，分别选取向量$x$，并对$A^{(j-1)}$做Householder变换，得到新的矩阵$A^{(j)}$。
5. 最终得到的矩阵$A^{(n-1)}$就是QR分解的R矩阵，而对之前选取的所有向量构成的矩阵做一次相似变换，得到QR分解的Q矩阵。

以上就是用Python实现Householder变换QR分解的基本思路和代码实现。