用python实现householder矩阵的qr分解

下面是用Python实现Householder矩阵的QR分解的代码：

import numpy as np

def qr_hh(A):
    m, n = A.shape
    R = A.copy()
    Q = np.eye(m)
    for j in range(n):
        x = R[j:, j]
        e = np.zeros_like(x)
        e[0] = np.sign(x[0])
        u = x + e * np.linalg.norm(x)
        u = u / np.linalg.norm(u)
        R[j:, j:] = R[j:, j:] - 2 * np.outer(u, u.T @ R[j:, j:])
        Q[j:, :] = Q[j:, :] - 2 * np.outer(u, u.T @ Q[j:, :])
    return Q, R

输入参数A是一个$m \times n$的矩阵，输出结果是QR分解的Q和R矩阵。这里采用了Householder矩阵的方法实现QR分解。

Householder矩阵的QR分解基本思路如下：

1. 对于矩阵$A$的第$j$列，选取一个向量$x$，使得$x$与$A$的第$j$列向量$u$的内积为$||x||$，而$x$与$u$之间的夹角为$90^{\circ}$。
2. 构造Householder矩阵$H_j=I-2uu^T$，其中$u$是单位向量，使得$H_j$将$A$的第$j$列向量变成一个倍长的向量，使得这个向量的第一个元素为$||x||$。
3. 用$H_j$左乘$A$，得到新的矩阵$A^{(1)}$，此时$A^{(1)}$的第$j$列向量已经是一个倍长的向量。
4. 分别对$A^{(1)}$的第$j+1$列到第$n$列，重复上述过程，得到新的矩阵$A^{(2)}$，$A^{(3)}$，$\cdots$，$A^{(n)}$。
5. 最终得到的矩阵$A^{(n)}$就是QR分解的R矩阵，而对之前构造的所有Householder矩阵做一次相似变换，得到QR分解的Q矩阵。

以上就是用Python实现Householder矩阵的QR分解的基本思路和代码实现。