求矩阵A |0 2 0 1| |2 0 0 1| |0 0 1 1| |1 1 1 0| 求A^2 A^3 A^4
时间: 2024-01-03 12:04:23 浏览: 25
矩阵 A 的平方为:
|0 2 0 1| |0 0 2 2|
|2 0 0 1| x |0 2 0 1| = |4 0 0 2|
|0 0 1 1| |0 0 1 1|
|1 1 1 0| |2 2 0 0|
矩阵 A 的立方为:
|0 2 0 1| |0 0 2 2| |0 4 0 2|
|2 0 0 1| x |0 2 0 1| = |8 0 0 4|
|0 0 1 1| |0 0 1 1| |0 0 1 2|
|1 1 1 0| |2 2 0 0| |2 2 2 2|
矩阵 A 的四次方为:
|0 2 0 1| |0 0 2 2| |0 4 0 2| |0 0 8 8|
|2 0 0 1| x |0 2 0 1| = |8 0 0 4| x |0 8 0 4| = |0 0 32 16|
|0 0 1 1| |0 0 1 1| |0 0 1 2| |0 0 4 4|
|1 1 1 0| |2 2 0 0| |2 2 2 2| |4 4 4 4|
相关问题
怎么证明A的伴随矩阵等于|A|的n-1次幂
设矩阵A为n阶矩阵,其伴随矩阵为adj(A),则有:
adj(A) = cofactor(A)T
其中cofactor(A)为A的余子式矩阵,T为其转置矩阵。而余子式矩阵的定义是:对于矩阵A的第i行第j列元素,其余子式值为A去掉第i行第j列后所得的(n-1)阶矩阵的行列式。
因此,我们可以得到:
adj(A)A = cofactor(A)TA
由于cofactor(A)TA是一个n阶矩阵,而A的行列式为|A|,因此
|adj(A)A| = |cofactor(A)TA| = |cofactor(A)| × |A|^(n-1)
又因为adj(A)A是一个n阶矩阵,其行列式为|adj(A)A|,而A的伴随矩阵adj(A)的定义是adj(A)A = |A|I,其中I为n阶单位矩阵,因此有:
|adj(A)| × |A| = |adj(A)A| = |A|^(n-1) × |cofactor(A)|
即有
adj(A) = |A|^(n-1) × cofactor(A)
因此,A的伴随矩阵等于|A|的(n-1)次幂乘以其余子式矩阵。
设矩阵A=(1,2),则行列式| A^TA|=
首先,计算 $A^T$:
$$
A^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
$$
然后,计算 $A^T A$:
$$
A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \end{pmatrix}
$$
因此,行列式 $|A^T A|$ 等于矩阵 $A^T A$ 的唯一元素 $5$,即 $|A^T A| = 5$。
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