正定矩阵与一个半负定矩阵相乘,是正定矩阵吗
时间: 2024-06-17 08:03:31 浏览: 12
如果一个矩阵是正定矩阵,它的所有特征值都是正数。相反,如果一个矩阵是半负定矩阵,它的特征值均为非正数。所以,一个正定矩阵与一个半负定矩阵相乘,结果不一定是正定矩阵,因为它们可能有共同的特征值为零。
但是,如果你想求得这个乘积矩阵是否为正定矩阵,可以使用Sylvester判别法:设A和B分别为n阶实对称矩阵,C=AB,则C为正定矩阵当且仅当A和B的主子式均大于0且det(A)det(C)=det(B)det(C)。
相关问题
如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵
正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵,正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵,可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。
假设A是正半定矩阵,B是正定矩阵,C=A+B,则对于任意非零向量x,有x^T C x = x^T A x + x^T B x。
由于A是正半定矩阵,所以x^T A x >= 0,而B是正定矩阵,所以x^T B x > 0。因此,x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0,即C是正定矩阵。
因此,正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。
半正定矩阵c一定是方正吗
半正定矩阵 C 不一定是方正的。半正定矩阵是指实对称矩阵 C,满足对于任意非零实向量 x,都有 x^T * C * x ≥ 0。其中,x^T 表示 x 的转置。
方正矩阵是指实对称矩阵 C,满足对于任意非零实向量 x,都有 x^T * C * x > 0。
可以看到,半正定矩阵只要求对于任意非零实向量 x,其二次型的值为非负数,而不一定是正数。
举个例子来说,考虑一个半正定矩阵 C = [[1, 0], [0, 0]],它是一个 2x2 的实对称矩阵。对于任意的非零实向量 x = [a, b],有 x^T * C * x = [a, b] * [[1, 0], [0, 0]] * [a, b] = [a^2, 0] * [a, b] = a^3 ≥ 0。对于任意的 a 和 b 值都满足这个不等式,所以该矩阵是半正定的。
然而,这个矩阵并不是方正矩阵,因为可以找到一个非零实向量 x = [1, 0],使得 x^T * C * x = [1, 0] * [[1, 0], [0, 0]] * [1, 0] = 1^2 = 1 > 0。也就是说,可以找到一个非零实向量 x,使得二次型的值大于零,所以该矩阵不是方正的。
综上所述,半正定矩阵不一定是方正的。