正定矩阵与一个半负定矩阵相乘,是正定矩阵吗
时间: 2024-06-17 09:03:31 浏览: 266
如果一个矩阵是正定矩阵,它的所有特征值都是正数。相反,如果一个矩阵是半负定矩阵,它的特征值均为非正数。所以,一个正定矩阵与一个半负定矩阵相乘,结果不一定是正定矩阵,因为它们可能有共同的特征值为零。
但是,如果你想求得这个乘积矩阵是否为正定矩阵,可以使用Sylvester判别法:设A和B分别为n阶实对称矩阵,C=AB,则C为正定矩阵当且仅当A和B的主子式均大于0且det(A)det(C)=det(B)det(C)。
相关问题
如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵
正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵,正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵,可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。
假设A是正半定矩阵,B是正定矩阵,C=A+B,则对于任意非零向量x,有x^T C x = x^T A x + x^T B x。
由于A是正半定矩阵,所以x^T A x >= 0,而B是正定矩阵,所以x^T B x > 0。因此,x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0,即C是正定矩阵。
因此,正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。
为什么正定矩阵一定对称,负定矩阵不一定对称
正定矩阵和负定矩阵是线性代数中的重要概念。正定矩阵是指对于任意非零向量x,都有x^T * A * x > 0,其中A是一个n×n的矩阵。负定矩阵则是指对于任意非零向量x,都有x^T * A * x < 0。
正定矩阵一定是对称的,这是因为正定矩阵的定义要求对于任意非零向量x,都有x^T * A * x > 0。如果A不是对称矩阵,那么存在非零向量x和y,使得x^T * A * y ≠ y^T * A * x。但是根据矩阵乘法的性质,有x^T * A * y = (y^T * A * x)^T = y^T * A^T * x。如果A是正定矩阵,则根据定义,x^T * A * y > 0,而y^T * A^T * x = y^T * A * x ≠ x^T * A * y,这与正定矩阵的定义相矛盾。因此,正定矩阵一定是对称的。
负定矩阵不一定是对称的。举个例子,考虑一个非对称矩阵A = [0, -1; 1, 0],其中0表示零元素。对于非零向量x = [1, 1],有x^T * A * x = [1, 1] * [0, -1; 1, 0] * [1, 1] = [0, -2] * [1, 1] = -2 < 0,所以A是一个负定矩阵。但是A不是对称矩阵,因为A的转置A^T = [0, 1; -1, 0] ≠ A。
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