正定矩阵与一个半负定矩阵相乘，是正定矩阵吗

如果一个矩阵是正定矩阵，它的所有特征值都是正数。相反，如果一个矩阵是半负定矩阵，它的特征值均为非正数。所以，一个正定矩阵与一个半负定矩阵相乘，结果不一定是正定矩阵，因为它们可能有共同的特征值为零。

但是，如果你想求得这个乘积矩阵是否为正定矩阵，可以使用Sylvester判别法：设A和B分别为n阶实对称矩阵，C=AB，则C为正定矩阵当且仅当A和B的主子式均大于0且det(A)det(C)=det(B)det(C)。

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如何证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵

正半定矩阵是指所有特征值都大于等于0的矩阵，正定矩阵是指所有特征值都大于0的矩阵。证明正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵，可以使用矩阵特征值的定义和性质进行证明。

假设A是正半定矩阵，B是正定矩阵，C=A+B，则对于任意非零向量x，有x^T C x = x^T A x + x^T B x。

由于A是正半定矩阵，所以x^T A x >= 0，而B是正定矩阵，所以x^T B x > 0。因此，x^T C x = x^T A x + x^T B x > 0，即C是正定矩阵。

因此，正半定矩阵加正定矩阵是正定矩阵。

为什么正定矩阵一定对称，负定矩阵不一定对称

正定矩阵和负定矩阵是线性代数中的重要概念。正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0，其中A是一个n×n的矩阵。负定矩阵则是指对于任意非零向量x，都有x^T * A * x < 0。

正定矩阵一定是对称的，这是因为正定矩阵的定义要求对于任意非零向量x，都有x^T * A * x > 0。如果A不是对称矩阵，那么存在非零向量x和y，使得x^T * A * y ≠ y^T * A * x。但是根据矩阵乘法的性质，有x^T * A * y = (y^T * A * x)^T = y^T * A^T * x。如果A是正定矩阵，则根据定义，x^T * A * y > 0，而y^T * A^T * x = y^T * A * x ≠ x^T * A * y，这与正定矩阵的定义相矛盾。因此，正定矩阵一定是对称的。

负定矩阵不一定是对称的。举个例子，考虑一个非对称矩阵A = [0, -1; 1, 0]，其中0表示零元素。对于非零向量x = [1, 1]，有x^T * A * x = [1, 1] * [0, -1; 1, 0] * [1, 1] = [0, -2] * [1, 1] = -2 < 0，所以A是一个负定矩阵。但是A不是对称矩阵，因为A的转置A^T = [0, 1; -1, 0] ≠ A。