三维空间点通过相机的内参、外参

在计算机视觉和图形学中，三维空间中的点通常需要通过相机的内参矩阵（Intrinsic Parameters）和外参矩阵（Extrinsic Parameters）来转换到二维图像平面上。

1. **内参矩阵**：也称为焦距矩阵或像素投影矩阵，它包含了相机内部几何信息，如镜头的焦距、主点坐标（即图像中心）、像素尺寸等。内参矩阵可以表示为3x3的矩阵，其中前两个元素对应于像素宽度和高度的尺度因子，中间的2x2子矩阵代表了主点的位置，其余元素为零。

2. **外参矩阵**：又称为旋转和平移矩阵，描述了相机相对于世界坐标系的位置和方向。它由3x4的形式表示，分为两部分：第一行是单位长度的向量，指向相机的正前方（X轴），第二行是单位长度的垂直向量（Y轴），最后一行是Z轴的单位长度向量（通常假设Z轴向下）。剩下的四个元素是沿着这三个轴的平移分量。

将一个三维点P(x, y, z)通过这样的过程转换到二维图像上，首先将其乘以外参矩阵R和T（旋转和平移），然后将结果传递给内参矩阵，应用透视除法（Pinhole Camera Model）得到像素坐标u, v：

\[ \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix} = K \cdot \left[ R \cdot P + T \right] \]

最后，由于像素坐标通常是归一化的，所以w会被除以，从而得到图像平面的像素坐标：

\[ \begin{bmatrix} u' \\ v' \end{bmatrix} = \frac{1}{w} \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \]