n个高斯分布乘积的分布
时间: 2024-06-18 16:06:19 浏览: 15
当n个高斯分布的均值和方差已知时,它们的乘积分布也是高斯分布,且均值和方差可以通过以下公式计算得到:
假设有n个高斯分布$N(\mu_i,\sigma_i^2)$,则它们的乘积分布为:
$$N(\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\cdot exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
其中,
$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2+\tau^2}\cdot\mu_i}{\sum_{i=1}^{n}\frac{\sigma_i^2}{\sigma_i^2+\tau^2}}$$
$$\sigma^2 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sigma_i^2+\tau^2}}$$
其中,$\tau$ 为一个常数,通常取值为0.01或0.001,用于防止某些方差过小的高斯分布对结果产生过大的影响。
相关问题
高斯谢尔模光束的复振幅分布
高斯-谢尔模型光束(Gaussian-Schell model beam)是一种常见的光束模型,它可以用于描述部分相干光的复振幅分布。该模型光束的复振幅分布可以通过高斯光束和谢尔函数的乘积来表示。
复振幅分布的表达式为:
```math
E(r) = A(r) \cdot \exp(i\phi(r))
```
其中,`E(r)`表示光束的复振幅,`A(r)`表示振幅分布,`r`表示径向距离,`phi(r)`表示相位分布。
高斯-谢尔模型光束的振幅分布可以用高斯光束的振幅分布和谢尔函数的乘积来表示:
```math
A(r) = A_0 \cdot \exp\left(-\frac{r^2}{w_0^2}\right) \cdot S(r)
```
其中,`A_0`表示振幅的最大值,`w_0`表示光束的束腰半径,`S(r)`表示谢尔函数。
谢尔函数可以用级数展开的形式表示:
```math
S(r) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot J_n(kr)
```
其中,`c_n`表示系数,`J_n(kr)`表示第一类贝塞尔函数。
综上所述,高斯-谢尔模型光束的复振幅分布可以通过以上公式计算得到。
证明高斯先验与高斯似然为共轭分布
高斯先验与高斯似然为共轭分布的证明如下:
假设我们有一个高斯分布的先验概率分布 $p(\theta)$,并且我们有一个高斯分布的似然函数 $p(x|\theta)$,其中 $x$ 是观测到的数据。我们希望找到一个后验概率分布 $p(\theta|x)$,它是先验概率分布和似然函数的乘积的归一化常数。
根据贝叶斯定理,我们可以得到:
$$p(\theta|x) = \frac{p(x|\theta)p(\theta)}{p(x)}$$
其中 $p(x)$ 是归一化常数,可以通过积分 $p(x|\theta)p(\theta)$ 得到。
我们可以将高斯分布的先验概率分布表示为:
$$p(\theta) = \mathcal{N}(\theta|\mu_0,\sigma_0^2)$$
其中 $\mu_0$ 和 $\sigma_0^2$ 是先验分布的均值和方差。
我们可以将高斯分布的似然函数表示为:
$$p(x|\theta) = \mathcal{N}(x|\theta,\sigma^2)$$
其中 $\sigma^2$ 是已知的方差。
将先验概率分布和似然函数代入贝叶斯定理中,我们可以得到:
$$p(\theta|x) \propto \mathcal{N}(x|\theta,\sigma^2)\mathcal{N}(\theta|\mu_0,\sigma_0^2)$$
我们可以将上式展开为:
$$p(\theta|x) \propto \exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\theta)^2\right)\exp\left(-\frac{1}{2\sigma_0^2}(\theta-\mu_0)^2\right)$$
将上式化简,我们可以得到:
$$p(\theta|x) \propto \exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{(x-\sigma_0^2\mu_0)+(n\sigma^2\theta)}{\sigma_0^2+n\sigma^2}\right)^2\right)$$
上式是一个均值为 $\frac{\sigma^2\mu_0+n\sigma_0^2x}{\sigma_0^2+n\sigma^2}$,方差为 $\frac{\sigma_0^2\sigma^2}{\sigma_0^2+n\sigma^2}$ 的高斯分布。因此,我们可以得出结论:高斯先验与高斯似然为共轭分布。
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