存在 n种物品，第i种的体积为 ai ​ ，数量有 bi ​ 个。 一旦有 2^k 个物品的体积均为v，则将它们合成为一个体积为 2^k*v的物品（ k>=1）。 容易知道，无论用何种方式合并，最终所剩物品数量是确定的。 求最后剩下多少个物品。c++完整代码

这个问题可以用哈希表和优先队列（堆）的数据结构来解决，因为我们需要频繁地对物品进行合并操作，而堆恰好能保持每次合并体积最大的物品。以下是C++的一个解决方案：

#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <queue>
using namespace std;

int merge(vector<int>& a, vector<int>& b, unordered_map<int, int>& cnt) {
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; // 优先队列用于存放物品

    for (int v : a) {
        if (cnt[v]) {
            pq.push({-v, cnt[v]}); // 用负值表示体积，便于比较
        }
    }

    for (int v : b) {
        if (cnt[v]) {
            pq.push({-v, cnt[v]});
        }
    }

    int res = 0;
    while (!pq.empty()) {
        pair<int, int> item = pq.top();
        pq.pop();

        int volume = -item.first;
        int numItems = item.second;
        res += numItems;

        if (volume > 1) {
            cnt[2 * volume] += numItems; // 合并
        } else {
            break; // 只有单个物品时停止
        }
    }

    return res;
}

int mergeItems(vector<int>& a, vector<int>& b) {
    unordered_map<int, int> cnt;
    for (auto &i : a) {
        cnt[i]++;
    }
    for (auto &i : b) {
        cnt[i]++;
    }

    int totalItems = a.size() + b.size();
    for (int i = 1; i <= totalItems; i *= 2) {
        cnt[i] += cnt[i / 2]; // 预处理所有可能的合并结果
    }

    return cnt[totalItems];
}

int main() {
    vector<int> a = {1, 2, 4}; // 物品a的体积列表
    vector<int> b = {1, 2, 8}; // 物品b的体积列表
    cout << "最终剩下 " << mergeItems(a, b) << " 个物品.\n";
    return 0;
}

在这个代码中，`mergeItems`函数负责合并两个物品集，`merge`函数则用于合并具体的物品集合。通过预处理所有可能的合并结果，我们可以减少实际的合并操作次数，提高了算法效率。