给出N物品和背包的容量M，第i件物品的容量为ai，价值为bi，假设物品可以切割，求能装进背包的最大价值。用贪心算法，写出完整代码

由于物品可以进行切割，我们可以按照单位重量价值（即bi/ai）从大到小对物品进行排序，然后依次将单位重量价值最大的物品放入背包，直到背包装满为止。这个贪心算法的正确性可以通过反证法来证明。

以下是使用贪心算法求解0-1背包问题的Python代码：

def fractional_knapsack(n, m, a, b):
    items = [(b[i]/a[i], a[i], b[i]) for i in range(n)]
    items.sort(reverse=True)  # 按照单位重量价值从大到小排序
    ans = 0
    for i in range(n):
        if m == 0:  # 背包已经装满了
            break
        if items[i][1] <= m:  # 能够完整装入第i件物品
            ans += items[i][2]
            m -= items[i][1]
        else:  # 只能部分装入第i件物品
            ans += m * items[i][0]
            m = 0
    return ans

其中，n表示物品数量，m表示背包容量，a和b分别表示物品的容量和价值。函数返回能够装入背包的最大价值。

注意：这个算法只适用于物品可以切割的情况。如果物品不能切割，我们需要使用动态规划算法来进行求解。

相关问题

给出N物品和背包的容量M，第i件物品的容量为ai，价值为bi，假设物品可以切割，求能装进背包的最大价值

这个问题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

初始化时，dp[0][j] = 0，表示前0个物品放入任何容量的背包中所能获得的最大价值都为0；dp[i][0] = 0，表示容量为0的背包中放入任何物品所能获得的最大价值都为0。

然后，我们可以使用以下状态转移方程来更新dp数组：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-ai] + bi)，其中ai表示第i个物品的容量，bi表示第i个物品的价值。

解释一下这个状态转移方程：dp[i-1][j]表示不放第i个物品时的最大价值，dp[i][j-ai] + bi表示放第i个物品时的最大价值。我们要取这两个值中的较大值作为dp[i][j]的值。

最终，dp[N][M]即为所求。

注意：这个问题中的物品可以切割，因此每个物品可以选择放入任意数量，而不是只有放或不放两种选择。

现有n种物品，对1<=i<=n，第i种物品的重量为正整数w i ​ ，价值为正整数p i ​ ，背包能承受的最大载重量为正整数M，要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过M且总价值尽量大。0/1背包问题要求物品或者整件装入背包中，或者根本不装入(即不能装入物品的一部分)，所以x i ​ 限定只能取值0或1。 输入格式: 第1行是M和n，表示背包容量为M且有n件物品； 第2行是这n件物品的重量w i ​ ； 第3行是各物品的价值p i ​ ，背包容量和物品重量都为整数。 输出格式: 第1行是所选物品的价值之和，以及重量之和； 第2行是各物品装入背包的量，即x i ​ 值。

这是一个经典的0/1背包问题，可以用动态规划求解。

设 dp[i][j] 表示前 i 个物品，放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + pi)

其中 wi 和 pi 分别表示第 i 个物品的重量和价值。

最后，回答你的问题，输入格式为：

第一行，两个正整数 M 和 n，表示背包容量和物品数量。

第二行，n 个正整数，表示每个物品的重量。

第三行，n 个正整数，表示每个物品的价值。

输出格式为：

第一行，一个正整数，表示所选物品的最大价值和总重量。

第二行，n 个 0 或 1，表示每个物品是否被选中。