并网变流器微分方程相图法

### 并网变流器微分方程相图法分析

#### 定义与背景

并网变流器作为电力电子装置，在电网连接中起着至关重要的作用。为了深入理解其动态行为，采用基于微分方程的建模方式成为一种有效手段。通过建立精确的状态空间模型来描述系统的瞬态特性，并利用相图法直观展示这些特性的演变过程[^1]。

#### 建立状态空间模型

对于典型的三相电压源型逆变器而言，可以构建如下形式的一阶线性常系数微分方程组：

\[
\begin{aligned}
& \frac{{di_L(t)}}{{dt}} = A_i i_L (t)+B_u u_g (t)-C_v v_c (t), \\
& C_v \frac{{dv_c (t)}}{{dt}}=D_i i_L (t),
\end{aligned}
\]

其中 \(i_L\) 表示电感电流；\(u_g\) 是输入直流侧电压；而 \(v_c\) 则代表输出滤波电容器两端电压。上述表达式中的矩阵参数取决于具体电路结构及其元件数值[^2]。

% MATLAB code snippet to define state-space model parameters
A_i = -R/L; % Resistance over Inductance ratio
B_u = 1/L;
C_v = K/L;
D_i = 1/C;

sys = ss(A_i, B_u, C_v, D_i);

#### 绘制相轨迹图形

一旦获得了适当的状态变量表示之后，则可以通过求解该非自治系统对应的初值问题得到时间响应曲线。进而绘制出不同初始条件下各状态量之间的关系图表——即所谓的“相图”。这种可视化工具能够帮助工程师们更清晰地观察到稳定性和收敛速度等方面的信息[^3]。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def system_model(X,t):
    dX_dt = [A_i*X[0]+B_u*u_g-C_v*X[1], D_i*X[0]]
    return dX_dt
    
time_points = np.linspace(0,5,400)
initial_conditions = [[0.1, 0],[0,-0.1],[-0.1,0]]

for ic in initial_conditions:
    sol = odeint(system_model,ic,time_points)
    
plt.plot(sol[:,0],sol[:,1])
plt.xlabel('Inductor Current')
plt.ylabel('Capacitor Voltage')
plt.title('Phase Portrait of Grid-connected Inverter')
plt.grid(True)
plt.show()