带焦点的系统的微分方程及其相图绘制的代码

这里给出一个简单的带焦点的系统的微分方程及其相图绘制的 Python 代码。

该系统的微分方程为：

$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = a x - b x y \\
\frac{dy}{dt} = -c y + d x y
\end{cases}
$$

其中 $a,b,c,d$ 为正常数，$x,y$ 分别表示两个变量。

下面给出 Python 代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义常数
a = 0.5
b = 1
c = 1
d = 0.5

# 定义微分方程
def f(xy, t):
    x, y = xy
    dxdt = a*x - b*x*y
    dydt = -c*y + d*x*y
    return [dxdt, dydt]

# 定义相图函数
def plot_phase_portrait(ax):
    x_range = np.linspace(0, 2, 21)
    y_range = np.linspace(0, 2, 21)
    X, Y = np.meshgrid(x_range, y_range)
    u, v = np.zeros_like(X), np.zeros_like(Y)
    NI, NJ = X.shape
    for i in range(NI):
        for j in range(NJ):
            xy = [X[i, j], Y[i, j]]
            xy_prime = f(xy, 0)
            u[i,j] = xy_prime[0]
            v[i,j] = xy_prime[1]
    ax.quiver(X, Y, u, v, color='r', alpha=0.5)
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.set_xlim([0, 2])
    ax.set_ylim([0, 2])
    ax.set_title('Phase Portrait')

# 绘制相图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))
plot_phase_portrait(ax)
plt.show()

这个代码会绘制出一个相图，如下所示：


在相图中，向量的方向表示了 $x$ 和 $y$ 的变化趋势，红色的箭头指向的方向表示了函数值增加的方向。图中有一个焦点（即两个特征根为实数且相反符号的情况），这是一个稳定的平衡点。