对二自由度机械臂的坐标变换分析

二自由度机械臂是由两个旋转关节组成的，我们可以用两个关节角度来描述它的姿态。假设两个关节分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$，机械臂末端的笛卡尔坐标为 $(x,y)$，则可以用以下式子来表示坐标变换：

$$
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
l_1 \cos \theta_1 + l_2 \cos (\theta_1 + \theta_2) \\
l_1 \sin \theta_1 + l_2 \sin (\theta_1 + \theta_2) \\
\end{bmatrix}
$$

其中 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是两个旋转关节的长度。这个式子可以用矩阵形式来表示：

$$
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta_1 & \cos (\theta_1 + \theta_2) & 0 \\
\sin \theta_1 & \sin (\theta_1 + \theta_2) & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
l_1 \\
l_2 \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$

这里我们把坐标表示为齐次坐标，这样就可以用矩阵乘法来表示坐标变换。其中第一个矩阵是变换矩阵，表示将关节角度转换为笛卡尔坐标的矩阵，第二个矩阵是坐标向量。