普里姆算法构造最小生成树

普里姆算法是一种用于构造最小生成树的贪心算法，它的基本思想是从一个点开始，逐步将与当前点相连的权值最小的边加入生成树中，直到生成树中包含所有顶点为止。

具体实现过程如下：
1. 任选一个顶点作为起点，加入生成树。
2. 找出与已加入生成树的顶点相连的所有边，选择其中权值最小的边所连的顶点加入生成树，并将这条边加入最小生成树中。
3. 重复第二步，直到所有的顶点都已经加入生成树中。

普里姆算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。如果使用堆等数据结构可以将时间复杂度优化到O(mlogn)，其中m为边数。

相关问题

c++c++普里姆算法构造最小生成树画图

普里姆算法（Prim's algorithm）是一种用来构造最小生成树的算法。

假设有一个带权重的无向连通图G，我们想要构造一个最小生成树。以下是使用普里姆算法构造最小生成树的步骤，并通过画图说明：

1. 首先，选择一个起始顶点，将其标记为已访问。

2. 从起始顶点开始，查找与已访问顶点相邻的未访问顶点，并找到连接这两个顶点的边的权重最小值。选择这条边，并将与未访问顶点相邻的顶点标记为已访问。

3. 重复第2步，直到所有顶点都被标记为已访问。此时，最小生成树构建完成。

让我们通过一个具体例子来说明：

假设有如下的无向连通图G：

    A --2-- B
   / \     / \
  1   3   5   4
 /     \ /     \
D--2--E--6--F--5--G

我们从顶点A开始构造最小生成树：

1. 选择顶点A作为起始顶点，并标记为已访问。

2. 查找与A相邻的未访问顶点，即B、D，选取权重最小的边AD。

3. 将顶点D标记为已访问。

4. 查找与已访问顶点（A和D）相邻的未访问顶点，即B、E。选取权重最小的边BE。

5. 将顶点E标记为已访问。

6. 查找与已访问顶点（A、D和E）相邻的未访问顶点，即B、F。选取权重最小的边AF。

7. 将顶点F标记为已访问。

8. 查找与已访问顶点（A、D、E和F）相邻的未访问顶点，即B、G。选取权重最小的边FG。

9. 将顶点G标记为已访问。

最终，我们得到的最小生成树如下图所示：

    A --- B
   /       \
  1         4
 /           \
D---2---E---5--F---G

这就是使用普里姆算法构造最小生成树的过程，并通过画图展示了最终的结果。

普里姆算法构造最小生成树c语言源代码

以下是使用C语言实现普里姆算法构造最小生成树的源代码：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 图的顶点数

int minKey(int key[], bool mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;
    for(int v = 0; v < V; v++)
        if(mstSet[v] == false && key[v] < min)
            min = key[v], min_index = v;
    return min_index;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("Edge \tWeight\n");
    for(int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V]; // 最小生成树
    int key[V]; // 顶点的权值
    bool mstSet[V]; // 顶点是否已包含在最小生成树中
    for(int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INT_MAX, mstSet[i] = false;
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;
    for(int count = 0; count < V - 1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = true;
        for(int v = 0; v < V; v++)
            if(graph[u][v] && mstSet[v] == false && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }
    printMST(parent, graph);
}

int main() {
    int graph[V][V] = { { 0, 2, 0, 6, 0 },
                        { 2, 0, 3, 8, 5 },
                        { 0, 3, 0, 0, 7 },
                        { 6, 8, 0, 0, 9 },
                        { 0, 5, 7, 9, 0 } };
    primMST(graph);
    return 0;
}

该程序使用了邻接矩阵来表示图，并且默认图的顶点数为5。程序输出的结果为最小生成树的边及其权重。