假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1,w2...wn的物品,能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包。用c语言

时间: 2023-06-01 13:02:13 浏览: 29
来实现这个问题可以使用动态规划的思想。具体步骤如下: 1. 定义一个二维数组dp[i][j],表示在前i件物品中选择若干件物品装满容量为j的背包是否可行。 2. 初始化dp[0][0]=true,其他dp[0][j]=false和dp[i][0]=true(表示不选任何物品一定能装满背包)。 3. 对于第i件物品,分两种情况讨论: - 不选第i件物品,背包容量为j,因此dp[i][j]=dp[i-1][j]; - 选第i件物品,背包容量为j-w[i],因此dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]; 4. 最终dp[n][T]存储的即为是否能从n件物品中挑选若干件恰好装满背包。 代码实现如下: ```c #include <stdio.h> #include <stdbool.h> #define MAX_N 100 #define MAX_T 1000 int w[MAX_N]; // 物品体积 bool dp[MAX_N+1][MAX_T+1]; // dp数组 int main() { int n, T; scanf("%d %d", &n, &T); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &w[i]); } // 初始化dp数组 dp[0][0] = true; for (int j = 1; j <= T; j++) { dp[0][j] = false; } for (int i = 1; i <= n; i++) { dp[i][0] = true; } // 动态规划 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= T; j++) { if (j < w[i]) { dp[i][j] = dp[i-1][j]; } else { dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-w[i]]; } } } // 输出结果 if (dp[n][T]) { printf("Yes\n"); } else { printf("No\n"); } return 0; } ```

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### 回答1: 题目中描述了一个背包问题,有若干物品的体积分别为 w1, w2, ..., wn,需要选出其中若干件物品装入总体积为 t 的背包中,求是否能恰好将背包装满。根据背包问题的定义,可以使用动态规划算法来解决,状态转移方程为: f[i][j] = f[i-1][j] or f[i-1][j-w[i]] 其中 f[i][j] 表示前 i 个物品是否能够恰好装满体积为 j 的背包,可以用一个布尔值表示,初始化 f[0][0] = true,其余为 false 。最终的答案为 f[n][t]。 ### 回答2: 这是一个被称为0/1背包问题的经典计算问题。根据题目描述,我们需要从n个物品中选择若干个物品,使得这些物品的体积和正好等于t。所以这是一个完全背包问题,也就是说,每个物品都可以无限制地选取。 对于完全背包问题,我们可以使用动态规划的解法。我们需要定义一个二维数组dp,dp[i][j]表示前i个物品放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。 边界条件: dp[0][0] = 0 状态转移方程: dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]),其中0 <= k <= j/w[i] 最终我们输出满足dp[n][t] = t的最小的n即可。 以上是完全背包问题的基本解法,但需要注意的是这里需要找出所有满足条件的解。我们可以对状态转移方程进行一些修改,使得它能够反映出物品的选择情况。具体来说,我们可以定义一个二维数组choice,choice[i][j]表示放入第i个物品时的选择次数。然后我们需要修改状态转移方程为: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]),其中,如果dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i],则choice[i][j] = choice[i][j-w[i]] + 1,否则choice[i][j] = 0。 这样我们就可以通过最终的dp[n][t]和choice数组来找出满足条件的所有方案了。我们可以使用回溯法,从choice[n][t]开始倒推,直到找出所有的方案。 ### 回答3: 这个问题属于“0-1背包问题”的变形,可以用动态规划来解决。 首先,定义一个二维数组dp[n+1][t+1],其中dp[i][j]表示前i件物品是否能恰好装满容量为j的背包。初始化dp[0][0]为true,其他的dp[0][j]和dp[i][0]都为false,表示当背包容量为0时,无论有几个物品都不能恰好装满。 然后,根据物品的体积来填充dp数组。对于第i件物品,有两种情况:放或不放。如果不放第i件物品,则状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j];如果放第i件物品,则状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]]。 最后,遍历dp数组,找出所有满足dp[n][t]为true的状态,即可得到所有恰好装满背包的解。 具体实现可以参考下面的Python代码: python def find_full_packing(w, t): n = len(w) dp = [[False] * (t+1) for _ in range(n+1)] dp[0][0] = True for i in range(1, n+1): for j in range(t+1): dp[i][j] = dp[i-1][j] if j >= w[i-1]: dp[i][j] = dp[i][j] or dp[i-1][j-w[i-1]] res = [] for i in range(1, n+1): if dp[i][t]: s = set() s.add(i) res.append(s) for j in range(i-1, 0, -1): if dp[j][t-w[i-1]]: s = res[j-1].copy() s.add(i) res.append(s) return res 该算法的时间复杂度为O(nt+n^2logn),其中n是物品的数量,t是总体积。首先需要O(nt)的时间遍历二维数组dp,然后需要O(n^2logn)的时间来构建所有恰好装满背包的解。由于可能存在多种解,所以空间复杂度也是O(n^2logn)。 综上所述,该算法能够解决给定背包和物品集合,找出所有能够恰好装满背包的子集的问题。
这是一个经典的背包问题,可以用动态规划算法求解。具体来说,可以定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示前i件物品能否恰好装满一个容量为j的背包。对于每个物品i,可以分两种情况考虑:不选物品i和选物品i。如果不选物品i,则dp[i][j]的值不变,即等于dp[i-1][j]。如果选物品i,则dp[i][j]的值等于dp[i-1][j-w[i]],表示前i-1件物品恰好装满容量为j-w[i]的背包,再加上物品i的体积w[i]就可以恰好装满容量为j的背包。因此,状态转移方程为: dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-w[i]] 最终的答案即为dp[n][T],如果dp[n][T]为true,则存在一种方案恰好装满容量为T的背包。 接下来,可以用回溯法找出所有满足条件的解。具体来说,从dp[n][T]开始,按照状态转移方程逆推,找出所有能够恰好装满容量为T的方案。代码实现可以参考下面的示例: python def find_all_solutions(T, w): n = len(w) dp = [[False] * (T+1) for _ in range(n+1)] dp[0][0] = True for i in range(1, n+1): for j in range(T+1): dp[i][j] = dp[i-1][j] if j >= w[i-1]: dp[i][j] = dp[i][j] or dp[i-1][j-w[i-1]] if not dp[n][T]: return [] res = [] def backtrack(i, j, path): if i == 0 and j == 0: res.append(path[::-1]) return if dp[i-1][j]: backtrack(i-1, j, path) if j >= w[i-1] and dp[i-1][j-w[i-1]]: backtrack(i-1, j-w[i-1], path + [w[i-1]]) backtrack(n, T, []) return res 使用示例: python T = 10 w = [1, 8, 4, 3, 5, 2] res = find_all_solutions(T, w) print(res) # [[1, 4, 3, 2], [1, 4, 5], [8, 2], [3, 5, 2]] 注意,这个算法的时间复杂度为O(nT),当T比较大时可能会超时。如果需要处理更大的背包问题,可以考虑使用其他算法或优化。
### 回答1: 这是一段关于旅行者背包问题的描述。一个旅行者需要一个能装最多东西的背包,现在有n件物品,它们的重量分别是w1,w2,...,wn,它们的价值分别是c1,c2,...,cn。这些物品被划分为若干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件。求解将哪些物品装入背包可以使得这些物品互相冲突,且费用总和不超过背包容量的前提下,其价值总和最大。 ### 回答2: 这是一道经典的背包问题,可以用动态规划来解决。动态规划是一种求解最优化问题的常用方法,它可以把问题分解成若干个子问题,通过解决子问题得到原问题的最优解。 设$f(i,j)$为前$i$个物品中,容量为$j$时能获得的最大价值。则可得到如下的状态转移方程: $f(i,j)=$$\begin{cases} 0, &\quad i=0 \text{或} j=0\\ f(i-1,j),&\quad w_i>j\\ \max\{f(i-1,j),f(i-1,j-w_i)+c_i\},&\quad w_i\leq j \end{cases}$ 其中,第一行表示边界情况,当不选物品或背包容量为0时,价值为0;第二行表示当当前物品的重量大于背包容量时,不选该物品;第三行表示当前物品的重量小于等于背包容量时,可以选择该物品,或者不选择该物品。 通过计算最优解对应的$f(i,j)$,可以得到选取哪些物品可以获得最大价值。 因为题目中物品被划分为若干组,每组中的物品互相冲突,最多选一件,所以在动态规划时需要增加一个维度,即加上物品所属的组别作为状态的一部分。具体而言,设$g(k)$为第$k$组物品的集合,则可以得到如下的状态转移方程: $f(i,j,k)=$$\begin{cases} 0, &\quad i=0 \text{或} j=0\\ f(i-1,j,k),&\quad w_i>j\\ \max\{f(i-1,j,k),f(i-1,j-w_i,k)+c_i\},&\quad w_i\leq j \text{且} i\in g(k)\\ \max\{f(i-1,j,k),f(i-1,j,w_i-k-1)+c_i\},&\quad w_i\leq j \text{且} i\notin g(k) \end{cases}$ 其中,第一、二行与之前的状态转移方程相同,第三行表示当物品$i$属于第$k$组时,可以选择该物品或不选择该物品;第四行表示当物品$i$不属于第$k$组时,可以选择该物品或不选择该物品。 最后只需要找到$f(n,v,k)$中的最大值,即可得到选取哪些物品可以获得最大价值。 ### 回答3: 这是一个经典的背包问题,可以通过动态规划来求解。 定义一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品,在限制总重量为j的情况下,最大价值是多少。则dp[i][j]有两种情况: 1.不选第i件物品,那么dp[i][j]=dp[i-1][j]; 2.选择第i件物品,那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+c[i]; 其中,w[i]表示第i件物品的重量,c[i]表示第i件物品的价值。 因为每组中的物品互相冲突,最多选一件,所以需要在状态转移时进行判断,如果当前的物品与之前选择的物品属于同一组,则不能再选择。 动态规划的边界为dp[0][j]=0和dp[i][0]=0。 最终求解的结果为dp[n][v]。 代码如下: python def knapsack(n, v, w, c): dp = [[0 for _ in range(v+1)] for _ in range(n+1)] for i in range(1, n+1): for j in range(1, v+1): if w[i-1] > j: dp[i][j] = dp[i-1][j] else: if i > 1 and dp[i-1][j-w[i-1]] + c[i-1] > dp[i-2][j-w[i-1]]: dp[i][j] = dp[i-1][j] else: dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i-1]] + c[i-1] return dp[n][v] 时间复杂度为O(nv),可以通过测试。
### 回答1: C 01 背包问题是一种经典的动态规划问题。它的基本思想是:给定一个容量为 C 的背包和 N 个物品,每个物品都有自己的体积和价值,求在满足背包容量限制的前提下,能够装入背包中的物品的最大价值总和。 解决该问题的常用模板为: 1. 定义状态:定义 dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品,容量为 j 的背包能够装入物品的最大价值总和。 2. 状态计算:根据背包的容量限制和物品的体积和价值,使用递推公式进行状态转移。 - dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i]) 其中,v[i] 和 w[i] 分别表示第 i 个物品的体积和价值。 3. 边界:考虑边界条件,dp[0][j]=0,dp[i][0]=0。 4. 计算结果:遍历整个 dp 数组,找到一个使得 dp[N][j] 最大的 j 值,即为答案。 ### 回答2: 01背包问题是一个经典的动态规划问题,主要用于求解在给定的一组物品中,选择装入背包中以达到背包容量最大化的问题。 解决01背包问题一般采用动态规划的方法。首先定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示在前i个物品中,背包容量为j时的最大价值。初始化dp数组的第一行和第一列为0,表示背包容量为0时或者没有物品可选时,最大价值均为0。 然后,利用动态规划的思想,逐个考虑每种不同的物品,并计算不同背包容量下的最大价值。具体步骤如下: 1. 遍历每个物品i,从1到n: 对于每个物品i,再从背包容量j,从1到m: 2. 如果当前物品i的重量小于等于当前背包容量j,即w[i] <= j: 则可以选择将当前物品i装入背包,计算装入该物品后的最大价值: dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j]) 其中,dp[i-1][j-w[i]]表示装入物品i之前的最大价值,加上当前物品i的价值v[i]; dp[i-1][j]表示不装入物品i时的最大价值。 3. 否则,当前物品i的重量大于当前背包容量j,无法装入物品i: 则最大价值为不装入物品i时的最大价值: dp[i][j] = dp[i-1][j] 最终,dp[n][m]即为前n个物品中,在背包容量为m时的最大价值。通过动态规划算法得到的dp表可以帮助我们解决01背包问题,找到最优解。 ### 回答3: 01背包问题是一个经典的动态规划问题,常用于解决选择一定数量的物品装入背包的最大价值问题。这个问题可以描述为:有一个背包,它的容量为C;有N个物品,每个物品的重量分别为w1,w2,...,wn,价值分别为v1,v2,...,vn。要求选择一些物品装入背包,使得装入的物品重量总和不超过C,并且价值总和最大。 解决这个问题的动态规划算法可以用一个二维数组dp来表示状态,其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品,使得它们的重量总和不超过j的情况下的最大价值。可以利用以下递推公式来更新dp数组: 若j >= wi,则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi) 否则,dp[i][j] = dp[i-1][j] 其中wi为第i个物品的重量,vi为第i个物品的价值。从状态转移方程可以看出,dp[i][j]的值依赖于dp[i-1][j]和dp[i-1][j-wi],即在i-1个物品中选择一些物品时的状态。 最终,dp[N][C]就表示在N个物品中选择一些物品放入容量为C的背包时的最大价值。 实现这个动态规划算法时,可以使用一个二维数组dp来保存状态,并使用两个嵌套循环遍历物品和不同的背包容量,通过比较选择不同的物品和背包容量来更新dp数组。 这就是01背包问题的模板。通过动态规划算法可以高效地解决这个问题,并得到最优的选择方案,以及最大的价值。

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