假设有一个能装入总体积为t的背包和n件体积分别为w1 , w2 , … , wn 的物品,能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包,即使w1 +w2 + … + wn=t,要求找出所有满足上述条件的解。

时间: 2023-06-01 19:02:19 浏览: 130
### 回答1: 题目中描述了一个背包问题,有若干物品的体积分别为 w1, w2, ..., wn,需要选出其中若干件物品装入总体积为 t 的背包中,求是否能恰好将背包装满。根据背包问题的定义,可以使用动态规划算法来解决,状态转移方程为: f[i][j] = f[i-1][j] or f[i-1][j-w[i]] 其中 f[i][j] 表示前 i 个物品是否能够恰好装满体积为 j 的背包,可以用一个布尔值表示,初始化 f[0][0] = true,其余为 false 。最终的答案为 f[n][t]。 ### 回答2: 这是一个被称为0/1背包问题的经典计算问题。根据题目描述,我们需要从n个物品中选择若干个物品,使得这些物品的体积和正好等于t。所以这是一个完全背包问题,也就是说,每个物品都可以无限制地选取。 对于完全背包问题,我们可以使用动态规划的解法。我们需要定义一个二维数组dp,dp[i][j]表示前i个物品放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。 边界条件: dp[0][0] = 0 状态转移方程: dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]),其中0 <= k <= j/w[i] 最终我们输出满足dp[n][t] = t的最小的n即可。 以上是完全背包问题的基本解法,但需要注意的是这里需要找出所有满足条件的解。我们可以对状态转移方程进行一些修改,使得它能够反映出物品的选择情况。具体来说,我们可以定义一个二维数组choice,choice[i][j]表示放入第i个物品时的选择次数。然后我们需要修改状态转移方程为: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]] + v[i]),其中,如果dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i],则choice[i][j] = choice[i][j-w[i]] + 1,否则choice[i][j] = 0。 这样我们就可以通过最终的dp[n][t]和choice数组来找出满足条件的所有方案了。我们可以使用回溯法,从choice[n][t]开始倒推,直到找出所有的方案。 ### 回答3: 这个问题属于“0-1背包问题”的变形,可以用动态规划来解决。 首先,定义一个二维数组dp[n+1][t+1],其中dp[i][j]表示前i件物品是否能恰好装满容量为j的背包。初始化dp[0][0]为true,其他的dp[0][j]和dp[i][0]都为false,表示当背包容量为0时,无论有几个物品都不能恰好装满。 然后,根据物品的体积来填充dp数组。对于第i件物品,有两种情况:放或不放。如果不放第i件物品,则状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j];如果放第i件物品,则状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]]。 最后,遍历dp数组,找出所有满足dp[n][t]为true的状态,即可得到所有恰好装满背包的解。 具体实现可以参考下面的Python代码: ```python def find_full_packing(w, t): n = len(w) dp = [[False] * (t+1) for _ in range(n+1)] dp[0][0] = True for i in range(1, n+1): for j in range(t+1): dp[i][j] = dp[i-1][j] if j >= w[i-1]: dp[i][j] = dp[i][j] or dp[i-1][j-w[i-1]] res = [] for i in range(1, n+1): if dp[i][t]: s = set() s.add(i) res.append(s) for j in range(i-1, 0, -1): if dp[j][t-w[i-1]]: s = res[j-1].copy() s.add(i) res.append(s) return res ``` 该算法的时间复杂度为O(nt+n^2logn),其中n是物品的数量,t是总体积。首先需要O(nt)的时间遍历二维数组dp,然后需要O(n^2logn)的时间来构建所有恰好装满背包的解。由于可能存在多种解,所以空间复杂度也是O(n^2logn)。 综上所述,该算法能够解决给定背包和物品集合,找出所有能够恰好装满背包的子集的问题。

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