将f(θ)=Tθ(π-θ),θ∈[0,π] 按正弦函数族{sin nθ}展开成傅里叶级数

首先，我们可以将函数f(θ)在区间[0,π]上展开成正弦函数的级数，即

f(θ) = a0/2 + Σn=1^∞(an*sin nθ)

其中，a0和an分别为函数f(θ)在[0,π]上的平均值和第n个正弦函数的系数，它们可以通过以下公式求解：

a0 = (2/π)∫[0,π]f(θ)dθ

an = (2/π)∫[0,π]f(θ)sin nθ dθ

将函数f(θ)=Tθ(π-θ)代入上述公式中，得到：

a0 = (1/π)∫[0,π]Tθ(π-θ)dθ = T/2

an = (2/π)∫[0,π]Tθ(π-θ)sin nθ dθ

= (2T/π)∫[0,π]θ sin nθ dθ - (2T/π)∫[0,π]θsin nθ^2 dθ

= (2T/π) [-θ*cos nθ/ n + ∫[0,π]cos nθ dθ] - (2T/π) [∫[0,π]θsin nθ^2 dθ]

= (2T/π) [(-1)^n/(n^2-1) + π/2] - (2T/π) [∫[0,π]θsin nθ^2 dθ]

其中，第二个等式利用了分部积分法，第三个等式利用了积分公式∫sin^2nx dx = π/2（n≠0），∫sin^2 0x dx = 0。

因此，将f(θ)=Tθ(π-θ)按正弦函数族{sin nθ}展开成傅里叶级数为：

f(θ) = T/2 + Σn=1^∞[(2T/π) [(-1)^n/(n^2-1) + π/2] - (2T/π) [∫[0,π]θsin nθ^2 dθ]]sin nθ