若某二叉树有 5 个叶结点，其权值分别为 10、12、16、21、30，则其最小的带权路径长度（WPL）是：

可以使用哈夫曼编码来求解二叉树的最小带权路径长度（WPL）。具体步骤如下：

1. 将给定的权值序列按照从小到大的顺序排列，得到：10、12、16、21、30。

2. 从序列中选取权值最小的两个数（即10和12），将它们构造成一棵二叉树，根节点的权值为它们的和22。

3. 将新生成的二叉树的根节点权值加入到序列中，得到：16、21、30、22。

4. 从新生成的序列中选取权值最小的两个数（即16和21），将它们构造成一棵二叉树，根节点的权值为它们的和37。

5. 将新生成的二叉树的根节点权值加入到序列中，得到：30、22、37。

6. 重复以上步骤，直到所有数都被构造成二叉树。

7. 最后得到的二叉树如下所示：

116
/ \
46 70
/ \ \
22 24 30
/ \
10 12

8. 计算二叉树的最小带权路径长度（WPL）：

WPL = 10×3 + 12×3 + 16×2 + 21×2 + 30×1 = 219

因此，该二叉树的最小带权路径长度为219。

相关问题

若某二叉树有 5 个叶结点，其权值分别为 10、12、16、21、30，则其最小的带权路径长度（wpl）是：

### 回答1：
根据给出的条件，我们可以将叶子节点的权值从小到大排序为：10，12，16，21，30。 接下来，我们可以根据哈夫曼编码的规则来构造哈夫曼树。

首先，我们找到权值最小的两个叶子节点，将它们合并成一个新的节点，其权值为它们的和，即10+12=22。然后，我们将这个新节点插入到原来的叶子节点的位置上，得到以下的树形结构：

         22
        /  \
       10  12
      / \  
     16 21  
        /
       30 

接下来，我们再次找到权值最小的两个叶子节点，将它们合并成一个新的节点，其权值为它们的和，即16+21=37。然后，我们将这个新节点插入到原来的叶子节点的位置上，得到以下的树形结构：

           59
         /    \
        22    37
       / \    / \
      10 12  16 21  
             /
            30 

重复上述步骤，直到所有的叶子节点都被合并为一个根节点。最终得到的哈夫曼树如下：

                  118
                /     \
               /       \
              /         \
             /           \
            /             \
           /               \
          59              59
        /    \          /    \
       22    37        22    37
      / \    / \      / \    / \
     10 12  16 21    16 21  30 10

最小带权路径长度（WPL）定义为叶子节点的权值与其到根节点的路径长度的乘积之和。因此，我们可以计算出最小带权路径长度为：

WPL = 10*3 + 12*3 + 16*4 + 21*4 + 30*4 = 226

因此，该二叉树的带权路径长度为226，即最小带权路径长度为226。

### 回答2：
首先需要了解什么是二叉树的带权路径长度（wpl）：指二叉树中每一个叶子结点的权值乘上它到根结点的路径长度之和，即以叶子结点为权值的权路径长度之和。最小的带权路径长度指该二叉树中，最优解中的权值和。

根据哈夫曼编码的思想，可以利用贪心算法来求解带权路径长度的最小值。

步骤如下：

1. 根据给定的权值构建哈夫曼树（哈夫曼树是带权路径长度最短的树），将最小的两个权值相加，作为它们共同的父节点的权值，重复此过程直至构建出哈夫曼树。

2. 对于每一次的合并操作，都要计算该节点的带权路径长度，即它的权值乘以它到根节点的距离。对每个节点的带权路径长度进行累加，得到该二叉树的带权路径长度。

3. 计算出二叉树的带权路径长度之和，即为该二叉树的最小带权路径长度。

由给定的权值构建出哈夫曼树如下图：

105
/ \
46 59
/ \ / \
21 25 30 29
\ / \
10 16 13

在哈夫曼树中，所有叶子结点的带权路径长度之和即为最小的带权路径长度。所以5个叶节点的权值乘以它们到根节点的距离分别为：

10 * 3 + 12 * 3 + 16 * 2 + 21 * 2 + 30 * 2 = 226

因此，最小带权路径长度为 226。

### 回答3：
根据哈夫曼树的构造方法，我们可以先将这 5 个叶节点按照权值从小到大排序，得到序列 10、12、16、21、30。接下来根据哈夫曼树的构造规则，我们在每一次构造的过程中，都会选择两个权值最小的节点进行合并，形成一个新的节点，其权值为两个节点权值之和。因此，我们可以模拟构造哈夫曼树的过程，具体步骤如下：

1. 选择权值最小的两个节点 10 和 12，将它们合并为一个新节点，权值为 22，得到以下树形结构：

22
/ \
10 12

2. 选择权值最小的两个节点 16 和 21，将它们合并为一个新节点，权值为 37，得到以下树形结构：

22 37
/ \ / \
10 12 16 21

3. 最后，将上一步得到的两个子树合并为一个树，得到以下树形结构：

95
______|______
| |
37 58
___|___ ___|___
| | | |
16 21 22 30

最终得到的树就是哈夫曼树，其带权路径长度为：

10 × 2 + 12 × 2 + 16 × 2 + 21 × 2 + 30 × 1 = 118

因此，这个二叉树的最小带权路径长度为 118。

假设某棵二叉树有N个叶结点。给定这些叶结点的权值，求所有可能的二叉树中带权路径长度（WPL）的最小值

这是一个经典的哈夫曼编码问题。哈夫曼编码是一种将字符编码为二进制的方法，每个字符的编码都是唯一的，且具有最小的编码长度，可以达到最优压缩效果。

对于这个问题，我们可以按照以下步骤解决：

1. 将叶结点的权值按照从小到大的顺序排序。
2. 取出权值最小的两个叶结点，构建一个新的内部结点，其权值为这两个叶结点的权值之和。
3. 将这个新的内部结点插入到叶结点中，重新排序。
4. 重复步骤2和步骤3，直到只剩下一个根结点为止。
5. 最终构建出的二叉树即为哈夫曼树。

最小的WPL即为哈夫曼树的带权路径长度。