利用蒙特卡洛方法，可以通过计算圆的面积来计算 π。令 G 为以(2, 1)为中心、半径长度为 4 的圆。选择一个合适的矩形 B，在该矩形内生成大量的随机点。如果(x−x c ​ ) 2 +(y−y c ​ ) 2 <R 2 ，那么点（x，y）位于以(x c ​ ,y c ​ )为中心、半径为 R 的圆内。根据提示，在右侧编辑器补充代码，通过蒙特卡罗模拟计算 πfrom numpy import random random.seed(10) N = 100000 M = 0 #----------end----------- #----------end----------- m = M/N print("%.2f" %(4*m))

下面是补充完整的代码：

from numpy import random

random.seed(10)

N = 100000
M = 0
for i in range(N):
    x, y = random.uniform(-2, 2), random.uniform(-1, 3)
    if (x-2)**2 + (y-1)**2 < 4**2:
        M += 1

m = M/N
print("%.2f" %(4*m))

解释一下代码的实现思路：

我们选定以(2, 1)为中心、半径长度为 4 的圆 G，将其内切于矩形 B 中。接着我们在矩形 B 内生成 N 个坐标随机的点，然后判断每个点是否在圆 G 内。如果在圆 G 内，就累加计数器 M。

最后根据蒙特卡罗方法的计算公式：π ≈ 4M/N，计算 π 的值，并用 "%.2f" %(4*m) 将结果四舍五入保留两位小数输出。

这个例子展示了蒙特卡洛方法在计算 π 中的应用，也是蒙特卡洛方法在各种实际问题中的常见应用之一。

相关问题

利用蒙特卡洛方法，可以通过计算圆的面积来计算 π。令 G 为以(2, 1)为中心、半径长度为 4 的圆。选择一个合适的矩形 B，在该矩形内生成大量的随机点。如果(x−xc)**2 +(y−yc)**2<R**2，那么点（x，y）位于以(xc ,yc)为中心、半径为 R 的圆内。请编写程序，通过蒙特卡罗模拟计算 π。

好的，下面是 Python 代码实现：

import random

def estimate_pi(n):
    num_points_circle = 0
    num_points_total = 0
    for _ in range(n):
        x = random.uniform(-6, 10)
        y = random.uniform(-3, 5)
        distance = (x - 2) ** 2 + (y - 1) ** 2
        if distance <= 4 ** 2:
            num_points_circle += 1
        num_points_total += 1
    return 4 * num_points_circle / num_points_total

print(estimate_pi(1000000))

这里我们假设矩形 B 的边界为 $x \in [-6, 10]$，$y \in [-3, 5]$，它能完全包含住以 $(2, 1)$ 为中心，半径为 $4$ 的圆 G。我们生成 $n$ 个在矩形 B 内的随机点，然后判断每个点是否在圆内。最后，我们统计在圆内的点的数量并用总点数估算 π 值。

值得注意的是，随机点的数量 $n$ 要足够大，越大得到的结果越接近真实值。

matlab用蒙特卡洛方法计算积分值（近似为π）

### 使用 MATLAB 实现蒙特卡洛方法计算 π 的积分值

#### 基本思路
为了使用蒙特卡洛方法近似计算 π，可以考虑单位圆与其外切正方形的关系。如果在一个边长为 2 的正方形内随机撒点，则落在单位圆内的概率等于圆面积除以正方形面积，即 \( \frac{\pi}{4} \)[^1]。

#### MATLAB 源代码实现
下面是一个完整的 MATLAB 程序用于执行上述过程：

% 设置实验次数
n = input('请输入想要进行的试验次数: ');

% 初始化计数器
m = 0;

% 开始循环遍历每一个样本点
for i = 1 : n
    % 随机生成两个坐标轴上的位置
    x = rand(); 
    y = rand();
    
    % 判断该点是否位于单位圆内部
    if (x ^ 2 + y ^ 2) < 1
        m = m + 1;  % 如果在圆内则增加计数
    end
end

% 输出结果
fprintf('基于%d次试验得到的结果:\n', n);
fprintf('最终求出的 pi 的值是：%.8f\n', 4 * m / n);

这段代码首先让用户输入希望运行多少次试验 `n`，接着创建了一个简单的逻辑判断语句来决定某个给定的随机点 `(x,y)` 是否处于由原点为中心、半径为 1 所构成的圆形区域内。当所有的测试完成后，它会打印出所估计出来的 π 值[^3]。

#### 提高精度的方法
要获得更精确的结果，可以通过增大采样的数量 `n` 来减少统计波动的影响。随着 `n` 的增长，根据大数定律，平均值将会更加接近真实的期望值——在这里就是 π/4。因此，更大的 `n` 可以为我们提供更好的逼近效果。